Wielomiany - Jak rozwiązać ?

[zbigman1]

Witam. Od dziś jestem na forum , w szkole nie było mnie 2 tygodnie i mam problemy z wielomianami.
Pewne kwestie odszyfrowałem sam , lecz nie są to wiadomości wystarczające do samodzielnego rozwiązywania zadań z gwiazdką.
Przejdźmy do meritum - prosiłbym o pomoc / wytłumaczenie krok po kroku.
Rozkładanie wielomianów na czynniki liniowe .
Grupowanie wyrazów, wzory skrc. mnożenia , wyłączanie czynników przed nawias... , ale jak to zrobić przy nieco trudniejszych przykładach :
\(\displaystyle{ W(x)= x^{12} - 2x^6+1\\
W(x)=x^8+x^4+1\\
W(x) - x^4 - x^3 - x^2 -x -2\\
W(x)= 4x^4 - 12x^3 +25x^2-48x+36}\)
Szczerze powiedziawszy nie bardzo wiem jak to zrobić.

NWW i NWD wielomianów
* O co tu chodzi ? Weźmy jedno z zadań.
Znajdź NWW :
\(\displaystyle{ x^3 + 9x^2 +27x +27 ; x^2 +6x +9 ; x^2-9 ; x4-81}\)

Znajdź NWD :
\(\displaystyle{ x^5-x^4+324x-324; x^3 -5x^2+12x+18}\)

==================================

Rozwiąż równania - równania wielomianowe
\(\displaystyle{ x^4-3x^3-14x^2-20x-24=0\\
(x+1)(x^2+2)+(x+2)(x^2+1)=2}\)

Nierówności wielomianowe.
\(\displaystyle{ (16-x^2)(x^2+4)(x^2+x+1)(x^2-x-3)< 0}\)


W ogóle jakby ktoś był taki miły i mi powiedział jak się rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe to byłbym wdzięczny. Wiem że są na internecie , ale tam niekiedy jest to tłumaczone dla osób bardzo zaawansowanych , a jak kogoś nie było to wypada z gry w pewien sposób i nie wiadomo od czego zacząć.
Jakieś linki do tematów gdzie jest to jasno opisane , albo można też skopiować treść.

Może są osoby na tym świecie które nie 'kochają matematyki' za pieniądze...bo jak wiadomo nie to jest najważniejsze.

[Mariusz M]

W pierwszych dwoch gdy wykonasz odpowiednie podstawienie to otrzymasz rownanie kwadratowe
W dwoch ostatnich proponowalbym rozlozyc wielomian na iloczyn dwoch trojmianow kwadratowych
sprowadzajac go wczesniej do roznicy kwadratow

\(\displaystyle{ -x^4-x^3-x^2-x-2=0\\
x^4+x^3+x^2+x+2=0\\
x^4+x^3+ \frac{x^2}{4}+\left( \frac{3}{4}x^2+x+2 \right)=0\\
\left( x^2+ \frac{x}{2} \right)^2+\left( \frac{3}{4}x^2+x+2 \right)=0\\
\Delta=1-2 \cdot 3=-5<0\\
x\not\in \mathbb{R}}\)



\(\displaystyle{ 4x^4-12x^3+25x^2-48x+36=0}\)

Tutaj mozna szukac pierwiastkow wymiernych
albo jak wyzej

\(\displaystyle{ 4x^4-12x^3+25x^2-48x+36=0\\
4x^4-12x^3+25x^2-48x+36=0\\
4x^4-12x^3+9x^2+16x^2-48x+36=0\\
\left( 2x^2-3x\right)^2+\left( 4x-6\right)^2=0\\}\)

Tutaj rzeczywisty pierwiastek otrzymujemy tylko wtedy gdy w obydwu nawiasach jest zero a zatem

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^2-3x=0 \\ 4x-6=0 \end{cases}\\
\begin{cases} x\left( 2x-3\right)=0 \\ 2\left( 2x-3\right)=0 \end{cases} \\
x= \frac{3}{2}}\)

Grupować też dość łatwo

\(\displaystyle{ 4x^4-12x^3+25x^2-48x+36=0\\
4x^4-12x^3+9x^2+16x^2-48x+36=0\\
x^2\left( 4x^2-12x+9\right)+4\left( 4x^2-12x+9\right)=0\\
\left( x^2+4\right)\left( 4x^2-12x+9\right)=0}\)


NWD, NWW

NWW mozesz obliczyc wykorzystujac NWD
Na NWD masz dwa sposoby
1. Rozkladasz wielomiany na czynniki i bierzesz iloczyn wspolnych czynnikow
2. Bierzesz reszty z dzielenia wielomianow

Rozwiąż równania - równania wielomianowe
\(\displaystyle{ x^4-3x^3-14x^2-20x-24=0\\
(x+1)(x^2+2)+(x+2)(x^2+1)=2}\)

Tutaj możesz skorzystać z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach

W pierwszym równaniu strzelaj w
\(\displaystyle{ x_{1}=-2\\x_{2}=6}\)
W drugim równaniu strzelaj w
\(\displaystyle{ x_{1}=-1}\)

[Frmen]

.....

Nierówności wielomianowe.
\(\displaystyle{ (16-x^2)(x^2+4)(x^2+x+1)(x^2-x-3)< 0}\)
...

W wielomianowych (a ogólnie wymiernych nierównościach szczerze polecam "wężyki"
(przykłady wężyków z pięknymi rysunkami podała anna w podpiętym temacie).

Procedura jest taka.

1. Znajdujesz miejsca zerowe licznika i mianownika ( tu na razie masz tylko licznik), a jeśli jakiś czynnik powtarza się wielokrotnie pamiętasz jego "krotność"
2 Zaznaczasz je na osi liczbowej przy wielokrotnych znacząc krotność. U mnie zwykle miejsca zerowe licznika zaznaczało się kropkami mianownika kółeczkami, bo to światełko w kółeczku ma błyskać ostrzeżeniem że punkt ten nie należy do dziedziny funkcji, ale to nie zawsze jest takie ważne. (nie musisz dokładnie zachować wymiarów ważna jest kolejność)
3 sprawdzasz znak przy najwyższej potędze w liczniku ( gdy w mianowniku jest dodatni, jeśli nie mnożysz licznik i mianownik przez -1)
4 Wężyk zaczynasz rysować od strony prawej jeżeli badany w kpt 3 znak jest ujemny od dołu jeśli dodatni od góry.
5. Wężyk prowadzisz po kolei przez kropki i kółeczka, jeśli trafisz na krotność nieparzystą wężyk przecina oś, jeśli parzystą, odbija się i pozostaje po tej samej stronie osi.
Tam gdzie wężyk jest nad osią funkcja jest dodatnia, a tam gdzie pod osią ujemna.

Uwaga 1. w zasadzie wężyk można prowadzić z dowolnego x w którym znasz znak funkcji. Podany w pkc 4 sposób zalecam dlatego że przy odrobinie wprawy od razu "widać" czy wężyk idzie od dołu czy od góry. Można jednak wstawić 0 i zobaczyć czy funkcja jest dodatnia czy ujemna i pociągnąć wężyk w obie strony od zera.
Uwaga 2. Przejścia (lub odbicia) wężyka przez kółeczka informuje nas o granicach niewłaściwych funkcji z tej strony kółeczka gdzie jest nad osia granicą jest \(\displaystyle{ + \infty}\) tam gdzie pod osią \(\displaystyle{ - \infty}\)

[zbigman1]

W pierwszych dwoch gdy wykonasz odpowiednie podstawienie to otrzymasz rownanie kwadratowe

Owszem , teraz już to widzę.
\(\displaystyle{ W(x)= x^{12} - 2x^6+1}\)
\(\displaystyle{ (a^2 -2ab +b^2) = (x^6 -1 ) ^2)}\)
-------------------------------------
\(\displaystyle{ W(x)=x^8+x^4+1}\)
\(\displaystyle{ (a^2 + 2ab +b^2) = (x^4+1)^2}\)


Tu się pojawia pewien problem , bo nie mam pojęcia dlaczego zamieniłeś znaki na przeciwne wszędzie , a później ten mianownik z czwórką.


I jeszcze mam jeden problem. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć mechanizm owego mnożenia ?

\(\displaystyle{ (x+1)(x-2)(x+3)(2x-4) = 2x^4+x^3(-4+2*3+2*(-2)+2*1) + x^2(3*(-4)+2*(-4)+2*(-2)*3+1*(-4)+2*13+2*1*(-2)+x*(-2*3*(-4)+1*3*(-4)+1*(-2)*(-4)+2*1*(-2)*3+1*(-2)*3*(-4)}\)
Może ktoś wie skąd to wszystko się wzięło , jest na to jakiś wzór?

I jak postępować gdy nie możemy wziąć pomocniczego \(\displaystyle{ t^2 zamiast x^4}\) ?
Na przykład :
\(\displaystyle{ x^3-13x-12 = x^3-x-12x+12=x(x^2-1)-12(x-1)=(x^2-1)(x-1)(x-12)}\) I właściwie to nie wiem co dalej ,bo cokolwiek tu ruszę i jest źle.

\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1=0}\) Tutaj też nie bardzo wiadomo.. czy wymnożyć ten nawias do ^4 , czy coś innego zrobić.

[konrad509]

\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1=0}\)

Ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)-- 8 sty 2013, o 15:32 --\(\displaystyle{ x^3-13x-12=\\
x^3-x-12x-12=\\
x(x^2-1)-12(x+1)=\\
x(x-1)(x+1)-12(x+1)=\\
(x+1)(x(x-1)-12)=\\
(x+1)(x^2-x-12)}\)

[pyzol]

\(\displaystyle{ W(x)=x^8+x^4+1\\
(a^2 + 2ab +b^2) = (x^4+1)^2}\)

Tutaj do wzoru skróconego mnożenia brakuje nam jednego wyrazu.
Należy wpierw go dodać, potem odjąć
\(\displaystyle{ x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4=(x^4+1)^2-x^4}\)
teraz korzystamy z kolejnego wzoru (różnica kwadratów):
\(\displaystyle{ (x^4+1)^2-x^4=\left(\left( x^4+1\right)-x^2 \right)\left(\left( x^4+1\right)+x^2 \right)}\)
Z wyrażeniami:
\(\displaystyle{ x^4-x^2+1,x^4+x^2+1}\)
postępujemy podobnie.

[zbigman1]

konrad509, Wszystko w porządku , lecz wynik powinien być :

\(\displaystyle{ W(x)=(x+1)(x+3)(x-4)}\)
I nie do końca wiadomo jak go otrzymać z \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x^2-x-12)}\)
Chyba jakoś z \(\displaystyle{ a^2-b^2}\) , ale też nie bardzo..

Pyzol , dzięki.. ale co zrobić gdy sytuacja jest nieco inna :
\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1=0}\)

Sorki że jestem taki dociekliwy , ale po prostu chce być świadomy tego jak rozwiązywać takie zadania , bo są mi one potrzebne do zaliczenia materiału.

[konrad509]

A faktycznie. No to sprawa jest prosta. Można policzyć deltę itd. albo:
\(\displaystyle{ x^2-x-12=\\
x^2-4x+3x-12=\\
x(x-4)+3(x-4)=\\
(x+3)(x-4)}\)

-- 8 sty 2013, o 16:28 --

Pyzol , dzięki.. ale co zrobić gdy sytuacja jest nieco inna :
\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1=0}\)

\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1=0}\)

Ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)

Czyli z tego samego co pyzol korzystał.