Rozwiąż nierówność :
\(\displaystyle{ x^4-3x^2 \le |x^2-3|}\)
\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge x^4-3x^2}\)
\(\displaystyle{ |x| \ge a \Leftrightarrow -a \ge x \vee x \ge a}\)
\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge x^2(x^2-3)}\)
Dochodzę do momentu gdzie przy grupowaniu mam taką sytuację :
\(\displaystyle{ x^2(x^2+1)-3(x+1) \le 0 \vee x^2(x^2-1)-3(x-1) \le 0}\)
I nie wiem co zrobić ... Nie wiem wgl czy dobrze rozwiązałem.
Pomożecie?
Zrobiłbym tak, że z \(\displaystyle{ x^2(x^2+1)-3(x+1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1}\)
A z tego \(\displaystyle{ x^2(x^2-1)-3(x-1) \le 0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \vee x=-1 \vee x=1_{(2)}}\)
Nierówności wielomianowe
-
- Użytkownik
- Posty: 1841
- Rejestracja: 5 mar 2012, o 14:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska :D
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 323 razy
Nierówności wielomianowe
Nie wiem co to za kombinacje. Wyznaczasz miejsca zerowe \(\displaystyle{ x^2-3}\) i rozwiązujesz na przedziałach: \(\displaystyle{ (-\infty,x_1),\langle x_1,x_2),\langle x_2,\infty)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Nierówności wielomianowe
Rozwiązujesz więc układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3 \ge x^4-3x^2 \\ x<- \sqrt{3} \vee x> \sqrt{3} \end{cases}}\)
i
\(\displaystyle{ \begin{cases} -(x^2-3) \ge x^4-3x^2 \\ x>- \sqrt{3} \wedge x< \sqrt{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-3 \ge x^4-3x^2 \\ x<- \sqrt{3} \vee x> \sqrt{3} \end{cases}}\)
i
\(\displaystyle{ \begin{cases} -(x^2-3) \ge x^4-3x^2 \\ x>- \sqrt{3} \wedge x< \sqrt{3} \end{cases}}\)
- Hajtowy
- Użytkownik
- Posty: 754
- Rejestracja: 12 wrz 2010, o 10:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 213 razy
- Pomógł: 5 razy
Nierówności wielomianowe
Zrobiłem tak :
\(\displaystyle{ |x^2-3|+3x^2 \ge x^4}\)
\(\displaystyle{ -x^4 \ge x^2+3x-3 \vee x^2+3x-3 \ge x^4}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge x^2+x^2+3x+3 \vee -x^4+x^2+3x-3 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+1)+3(x+1) \le 0 \vee -x^2(x^2-1)+3(x-1) \ge 0}\)
Pomożecie co dalej zrobić?
\(\displaystyle{ |x^2-3|+3x^2 \ge x^4}\)
\(\displaystyle{ -x^4 \ge x^2+3x-3 \vee x^2+3x-3 \ge x^4}\)
\(\displaystyle{ 0 \ge x^2+x^2+3x+3 \vee -x^4+x^2+3x-3 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x^2+1)+3(x+1) \le 0 \vee -x^2(x^2-1)+3(x-1) \ge 0}\)
Pomożecie co dalej zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 445
- Rejestracja: 4 sty 2013, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 64 razy
Nierówności wielomianowe
w tym wypadku jest wyjątkowo prosto. Przekształcamy do postaci:Hajtowy pisze:Rozwiąż nierówność :
\(\displaystyle{ x^4-3x^2 \le |x^2-3|}\)
\(\displaystyle{ x^2*(x^2-3) \le |x^2-3|}\)
\(\displaystyle{ x^2*(x^2-3) - |x^2-3| \le 0}\)
\(\displaystyle{ |x^2-3|*( x^2*sgn(x^2-3) -1) \le 0}\)
Pierwszy czynnik jest nieujemny a drugi może być ujemny.
co daje nam warunki:
\(\displaystyle{ x^2-3 = 0 \vee ( x^2*sgn(x^2-3) -1) \le 0}\)
dla
\(\displaystyle{ sgn(x^2-3) \le 0}\)
czyli
\(\displaystyle{ - \sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}}\)
nierówność jest spełniona pozostaje sprawdzić
\(\displaystyle{ sgn(x^2-3) > 0}\)
\(\displaystyle{ x^2-1 \le 0}\)
co nie zachodzi nigdy.
P.S Jak ktoś nie lubi sgn, po drugim przekształceniu może rozważyć 2 przypadki:
Pierwszy
\(\displaystyle{ |x^2-3| \ge 0}\)
a wtedy
\(\displaystyle{ |x^2-3|=(x^2-3)}\)
i drugi
\(\displaystyle{ |x^2-3|<0}\)
a wtedy
\(\displaystyle{ |x^2-3|=-(x^2-3)}\)