Wielomian czwartego stopnia

[type1]

Czy metodą ferrari i Cardana można obliczyć\(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}}\)

\(\displaystyle{ -8x ^{4} +10x ^{3} -5x ^{2} +10x+3=0}\)

\(\displaystyle{ (4x ^{2} -c) ^{2} =16x^{4} -20x^{3}+c^{2} \Rightarrow c= \frac{5}{4} x}\)

\(\displaystyle{ (4x ^{2} - \frac{10}{4}}\)\(\displaystyle{ x+ \frac{y}{2} )^{2}}\)\(\displaystyle{ =x^{2}( \frac{135}{16}+4y)+}\)\(\displaystyle{ x(20- \frac{10}{4} y)+}\)\(\displaystyle{ \frac{y^{2}}{4}+6}\)
W odpowiedziach mam tak:\(\displaystyle{ x _{1}=- \frac{1}{4} , x _{2}= \frac{3}{2}}\)

[Marcinek665]

Po co Cardano i Ferrari skoro są pierwiastki wymierne?

Żeby dokończyć Twój przykład, wyróżnik trójmianu po prawej musi być równy zero, czyli \(\displaystyle{ \left( 20-\frac{10}{4}y\right) ^2 - 4\left( \frac{y^2}{4}+4\right) \left( \frac{135}{16}+4y \right)=0}\). Obliczeń nie sprawdzałem.

[type1]

a nie może być ? to kiedy używamy Cardano i Ferrari ? profesor kazał mi tak skad wiesz ze są pierwiastki wymierne?

[Marcinek665]

Wzorów Cardano używamy, gdy wielomian stopnia trzeciego nie ma pierwiastków wymiernych, a Ferrariego w podobnej sytuacji dla wielomianów stopnia czwartego. Na pewno kazał to zrobić na tym przykładzie? Może po prostu wybrał taki wielomian, żeby ludzie poćwiczyli metodę, bo zazwyczaj wychodzą bardzo brzydkie rzeczy.

[type1]

a skąd mam wiedzieć kiedy równanie ma pierwiastki wymierne a kiedy nie ?

[Marcinek665]

Jest na to twierdzenie o dzielnikach wyrazu wolnego i wyrazu przy najwyższej potędze.

[type1]

rzucisz mi jakis przyklady dwa gdzie sa piewiastki wymierne a w drugim calkowite ? st opnia 3 i 4? jak to podziele to nie wychodzi ulamek to calkowite jak wychodzi to wymierne ?


dam+pomogl

[Marcinek665]

Weź jakikolwiek wielomian \(\displaystyle{ (x-a)(x-b)(x-c)}\) i wstaw w \(\displaystyle{ a,b,c}\) jakieś wartości i po wymnożeniu dostaniesz wielomian taki jak chcesz.

Twierdzenie, o którym mówię znajdziesz tutaj: page.php?p=kompendium-funkcje-wielomianowe

I wystarczy "dziękuję".

[type1]

]nie rozumeim tego

[Marcinek665]

gdzie sa piewiastki wymierne

\(\displaystyle{ \left( x-\frac{3}{4}\right)\left( x-\frac{4}{5}\right)\left( x- \frac{5}{6}\right) = 0}\)

a w drugim calkowite ?

\(\displaystyle{ \left( x-1}\right)\left( x-4\right)\left( x- 5\right) = 0}\)

[Mariusz M]

Jak profesor kazał to trzeba tak robić
Ja też wolę metody które na pewno dadzą efekt
Sprawdzanie liczb wymiernych których licznik
jest dzielnikiem wyrazu wolnego a mianownik dzielnikiem
współczynnika przy najwyższej potędze nie zawsze jest szybsze i nie zawsze prowadzi do celu
Chyba nie przeczytałeś uważnie wiadomości Vaxa
227371.htm


Sposobów na równanie czwartego stopnia jest trochę

Te co ja znam bazują na dwóch pomysłach
Wielomian czwartego stopnia rozkładamy na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
albo wyrażamy jego pierwiastki za pomocą sumy trzech z sześciu pierwiastków równania
szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia

Przy rozkładzie na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych możemy użyć współczynników nieoznaczonych
\(\displaystyle{ \left( x^2+b_{1}x+b_{0}\right)^2-p\left( x+c_{0}\right)^2=x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)

albo

\(\displaystyle{ \left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) =x^4+a_{3}x^3+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)

Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajesz
układ równań którego rozwiązanie wymaga znalezienia przynajmniej jednego
pierwiastka równania szóstego stopnia sprowadzalnego do równania trzeciego stopnia
na \(\displaystyle{ y^2}\) podstawieniem \(\displaystyle{ p=y+ \frac{a_{3}}{2}}\)

Rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych można uzyskać metodą uzupełniania do kwadratu
(wg Sierpińskiego to jest właśnie metoda Ferrariego)

Jeżeli chodzi o drugi pomysł to do równania trzeciego stopnia postaci

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)

stosowałeś podstawienie \(\displaystyle{ y=u+v}\)

w przypadku równania czwartego stopnia postaci

\(\displaystyle{ y^4+py^2+qy+r=0}\)

można zastosować podobne podstawienie

\(\displaystyle{ 2y=u+v+w}\)

Jeżeli bawiłeś się wcześniej funkcjami symetrycznymi (wielu zmiennych)
to drugi pomysł możesz zrealizować też w ten sposób

Współczynniki wielomianu

\(\displaystyle{ \left( z-\left( x_{1}+x_{2}\right) \right)\left( z-\left( x_{1}+x_{3}\right) \right)\left( z-\left( x_{1}+x_{4}\right) \right)\left( z-\left( x_{3}+x_{4}\right) \right)\left( z-\left( x_{2}+x_{4}\right) \right)\left( z-\left( x_{2}+x_{3}\right) \right)}\)

są funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia i mogą być przedstawione
za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych a co za tym idzie za pomocą współczynników wielomianu
czwartego stopnia
(po wyrażeniu współczynników wielomianu szóstego stopnia za pomocą funkcji symetrycznych podstawowych
korzystamy ze wzorów Viete)

Wszystkie te sposoby wymagają rozwiązania równania trzeciego stopnia
Spróbuj wykazać że nie istnieje metoda ogólna rozwiązywania równań czwartego stopnia która nie
wymagałaby rozwiązania równania trzeciego stopnia-- 9 stycznia 2013, 15:51 --

gdzie sa piewiastki wymierne

\(\displaystyle{ \left( x-\frac{3}{4}\right)\left( x-\frac{4}{5}\right)\left( x- \frac{5}{6}\right) = 0}\)

a w drugim calkowite ?

\(\displaystyle{ \left( x-1}\right)\left( x-4\right)\left( x- 5\right) = 0}\)

Raczej nie o to mu chodziło
Lepszym pomysłem byłoby podać mu te wielomiany w postaci ogólnej

Oto co naskrobałem w Javie

Kod: Zaznacz cały

public class NewJFrame extends javax.swing.JFrame {

	{
		//Set Look & Feel
		try {
			javax.swing.UIManager.setLookAndFeel("com.sun.java.swing.plaf.windows.WindowsLookAndFeel");
		} catch(Exception e) {
			e.printStackTrace();
		}
	}

	private JRadioButton jRadioButton1;
	private JPanel jPanel1;
	private JScrollPane jScrollPane1;
	private JButton jButton1;
	private JTable jTable1;
	private JTextField jTextField1;
	private JLabel jLabel1;
	private JRadioButton jRadioButton2;

	/**
	* Auto-generated main method to display this JFrame
	*/
	public static void main(String[] args) {
		SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
			public void run() {
				NewJFrame inst = new NewJFrame();
				inst.setLocationRelativeTo(null);
				inst.setVisible(true);
			}
		});
	}
	
	public NewJFrame() {
		super();
		initGUI();
		setTitle("Wspolczynniki wielomianu");
	}
	
	private void initGUI() {
		try {
			setDefaultCloseOperation(WindowConstants.DISPOSE_ON_CLOSE);
			{
				jPanel1 = new JPanel();
				getContentPane().add(jPanel1, BorderLayout.CENTER);
				jPanel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(392, 266));
				{
					jRadioButton1 = new JRadioButton();
					jPanel1.add(jRadioButton1);
					jRadioButton1.setText("pierwiastki wymierne");
					jRadioButton1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(333, 18));
					jRadioButton1.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jRadioButton1ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jRadioButton2 = new JRadioButton();
					jPanel1.add(jRadioButton2);
					jRadioButton2.setText("pierwiastki calkowite");
					jRadioButton2.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(332, 18));
					jRadioButton2.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jRadioButton2ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jLabel1 = new JLabel();
					jPanel1.add(jLabel1);
					jLabel1.setText("stopien wielomianu");
					jLabel1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(134, 14));
				}
				{
					jTextField1 = new JTextField();
					jPanel1.add(jTextField1);
					jTextField1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(181, 21));
					jTextField1.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jTextField1ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
				{
					jScrollPane1 = new JScrollPane();
					jPanel1.add(jScrollPane1);
					jScrollPane1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(330, 41));
					{
						TableModel jTable1Model = 
							new DefaultTableModel(
									new String[][] {{"",""," ",""," "}},
									new String[] {});
						((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(degree+1);
						((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
						jTable1 = new JTable();
						jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
						jTable1.setModel(jTable1Model);
					}
				}
				{
					jButton1 = new JButton();
					jPanel1.add(jButton1);
					jButton1.setText("Losuj");
					jButton1.setPreferredSize(new java.awt.Dimension(77, 21));
					jButton1.addActionListener(new ActionListener() {
						public void actionPerformed(ActionEvent evt) {
							jButton1ActionPerformed(evt);
						}
					});
				}
			}
			pack();
			setSize(400, 300);
		} catch (Exception e) {
		    //add your error handling code here
			e.printStackTrace();
		}
	}
	
	private void jTextField1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jTextField1.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jTextField1.actionPerformed
		degree=Integer.parseInt(jTextField1.getText());
		TableModel jTable1Model = 
			new DefaultTableModel(
					new String[][] {{"",""," ",""," "}},
					new String[] {});
		((DefaultTableModel) jTable1Model).setColumnCount(degree+1);
		((DefaultTableModel) jTable1Model).setRowCount(1);
		jTable1 = new JTable();
		jScrollPane1.setViewportView(jTable1);
		jTable1.setModel(jTable1Model);
	}
	
	private void jRadioButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jRadioButton1.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jRadioButton1.actionPerformed
		jRadioButton1.setSelected(true);
		jRadioButton2.setSelected(false);
	}
	
	private void jRadioButton2ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jRadioButton2.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jRadioButton2.actionPerformed
		jRadioButton1.setSelected(false);
		jRadioButton2.setSelected(true);
	}
	
	private void jButton1ActionPerformed(ActionEvent evt) {
		System.out.println("jButton1.actionPerformed, event="+evt);
		//TODO add your code for jButton1.actionPerformed
		Random r=new Random();
		int p,q;
		double a=1.0;
		double[] x=new double[degree+1];
		if(jRadioButton1.isSelected()){
			for(int i=1;i<=degree;i++){
				p=(1-2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
				q=1+r.nextInt(10);
				x[i]=(double)(p)/q;
				a*=(double)q;
			}
			for(int i=0;i<=degree;i++)
				if(i%2==0) jTable1.setValueAt(a*viete(degree,i,x),0 ,i); 
				else jTable1.setValueAt(-a*viete(degree,i,x),0 ,i);
			
		}
		if(jRadioButton2.isSelected()){
			for(int i=1;i<=degree;i++){
				x[i]=(1-2*r.nextInt(2))*r.nextInt(10);
			}
			for(int i=0;i<=degree;i++)
				if(i%2==0) jTable1.setValueAt(viete(degree,i,x),0 ,i); 
				else jTable1.setValueAt(-viete(degree,i,x),0 ,i);
		}
	}
	private double viete(int n,int k, double[] x){
		if(k==0) return 1.0;
		else if(n==0) return 0.0;
		else return viete(n-1,k,x)+viete(n-1,k-1,x)*x[n];
	}
private int degree=4;
}

[Mariusz M]

Trzeba jeszcze parę rzeczy zaimportować

Kod: Zaznacz cały

import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.event.ActionEvent;
import java.awt.event.ActionListener;
import java.util.Random;

import javax.swing.JButton;
import javax.swing.JLabel;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.JRadioButton;
import javax.swing.JScrollPane;
import javax.swing.JTable;
import javax.swing.JTextField;

import javax.swing.WindowConstants;
import javax.swing.table.DefaultTableModel;
import javax.swing.table.TableModel;
import javax.swing.SwingUtilities;

Aby losować pierwiastki wymierne w sensie użytkownika
profiles/99667.htm
trzeba by napisać funkcję nwd i losować mianownik dopóki
wartość bezwzględna z mianownika będzie różna od nwd licznika i mianownika