Jak rozkłada się wielomian wzorami Cardana ?
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Jak rozkłada się wielomian wzorami Cardana ?
A wystarczy wpisać "Cardano" w wyszukiwarce i wyskoczy inny temat mola, który także traktuje o tych wzorach...
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Jak rozkłada się wielomian wzorami Cardana ?
wzorami Cardano
Jak znasz łacinę to lepszym pomysłem będzie znalezienie
Hieronymi Cardani Artis magnae; sive, De regvlis algebraicis
bo to w sieci różnie metody nazywają (a jest ich trochę)
(W sieci jest chyba dostępny tylko fragment tego dzieła w formacie pdf)
Do tych wzorów można dojść na kilka sposobów
Najpierw sprowadzamy równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
(odpowiednim podstawieniem , podstawienie to łatwo zauważysz jeśli miałeś wprowadzony dwumian Newtona
możesz też skorzystać ze wzoru Taylora i zastosować dwukrotnie schemat Hornera)
Pamiętasz uzupełnianie do kwadratu ?
W równaniu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
możesz skorzystać z podobnego pomysłu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0\\
y^3=-py-q\\
y^3-3y^2z+3yz^2-z^3=-3y^2z+3yz^2-z^3-py-q\\
\left( y-z\right)^3=-y\left( 3yz-3z^2+p\right)-z^3-q\\
3yz-3z^2+p=0\\
3yz-3z^2=-p\\
3z\left( y-z\right)=-p\\
y-z=- \frac{p}{3z}\\
- \frac{p^3}{27z^3}=-z^3-q\\
z^3+q- \frac{p^3}{27z^3}=0\\
z^6+qz^3- \frac{p^3}{27}=0\\
y=z- \frac{p}{3z}\\}\)
W równaniu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
możesz zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+q+3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+q=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases} \\}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete trójmianu kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
które jak wiadomo są rozwiązaniami tego równania dobierasz tak aby
\(\displaystyle{ 3uv=-p}\)
Jeżeli liczby \(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\)
spełniają układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
to liczby
\(\displaystyle{ u_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }u_{0}\\v_{1}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }v_{0}}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }u_{0}\\v_{2}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }v_{0}}\)
także ten układ spełniają
Jak znasz łacinę to lepszym pomysłem będzie znalezienie
Hieronymi Cardani Artis magnae; sive, De regvlis algebraicis
bo to w sieci różnie metody nazywają (a jest ich trochę)
(W sieci jest chyba dostępny tylko fragment tego dzieła w formacie pdf)
Do tych wzorów można dojść na kilka sposobów
Najpierw sprowadzamy równanie do postaci
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
(odpowiednim podstawieniem , podstawienie to łatwo zauważysz jeśli miałeś wprowadzony dwumian Newtona
możesz też skorzystać ze wzoru Taylora i zastosować dwukrotnie schemat Hornera)
Pamiętasz uzupełnianie do kwadratu ?
W równaniu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
możesz skorzystać z podobnego pomysłu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0\\
y^3=-py-q\\
y^3-3y^2z+3yz^2-z^3=-3y^2z+3yz^2-z^3-py-q\\
\left( y-z\right)^3=-y\left( 3yz-3z^2+p\right)-z^3-q\\
3yz-3z^2+p=0\\
3yz-3z^2=-p\\
3z\left( y-z\right)=-p\\
y-z=- \frac{p}{3z}\\
- \frac{p^3}{27z^3}=-z^3-q\\
z^3+q- \frac{p^3}{27z^3}=0\\
z^6+qz^3- \frac{p^3}{27}=0\\
y=z- \frac{p}{3z}\\}\)
W równaniu
\(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
możesz zastosować podstawienie
\(\displaystyle{ y=u+v\\
\left( u+v\right)^3+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+3u^2v+3uv^2+p\left( u+v\right)+q=0\\
u^3+v^3+q+3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+q=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+ \frac{p}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases} \\}\)
Powyższy układ równań to wzory Viete trójmianu kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
\(\displaystyle{ t^2+qt- \frac{p^3}{27}=0}\)
Pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
które jak wiadomo są rozwiązaniami tego równania dobierasz tak aby
\(\displaystyle{ 3uv=-p}\)
Jeżeli liczby \(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\)
spełniają układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases} \\}\)
to liczby
\(\displaystyle{ u_{1}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }u_{0}\\v_{1}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }v_{0}}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_{2}=\exp{\left( \frac{4i\pi}{3} \right) }u_{0}\\v_{2}=\exp{\left( \frac{2i\pi}{3} \right) }v_{0}}\)
także ten układ spełniają
Jak rozkłada się wielomian wzorami Cardana ?
Witam
Po pierwsze napisz prawidłowo przykład. Bo dla mnie nie jest to wielomian stopnia trzeciego.
Wzory i linki na storach:
https://www.matematyka.pl/314454.htm
[url]http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne[/url], polskiej wersji nie polecam są błędy językowe. Za sformułowanie "równanie sześcienne" zostałem kiedyś na studiach pomówiony przez prof., że mówię językiem archaicznych.
Po pierwsze napisz prawidłowo przykład. Bo dla mnie nie jest to wielomian stopnia trzeciego.
Wzory i linki na storach:
https://www.matematyka.pl/314454.htm
[url]http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne[/url], polskiej wersji nie polecam są błędy językowe. Za sformułowanie "równanie sześcienne" zostałem kiedyś na studiach pomówiony przez prof., że mówię językiem archaicznych.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Jak rozkłada się wielomian wzorami Cardana ?
Jamaika, też to zauważyłem ale potraktowałem to jako literówkę
Ja polecałbym Zasady algebry wyższej Sierpińskiego
Ja polecałbym Zasady algebry wyższej Sierpińskiego
Kod: Zaznacz cały
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf