Rozwiązania wymierne równania wielomianowe

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 20:05

Znajdź wszystkie pierwiastki.

\(\displaystyle{ 6x ^{4} +5x^{3}-5x+7}\)

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ 125x^{3} +20^{2}+11x+2=0}\)

Jakie są najszybsze metody zrobienia takich zadań ? Znacie jakieś ? Nie chodzi mi o standardowe rozwiązania. Zrobienie pierwszego zad. zajęło mi 24 min a drugiego 20 min. .

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 20:20

wzory ferrari co to ? jak je stosować ? a są jeszcze inne wzory do wyższych potęg ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 sty 2013, o 20:50

kyos pisze:wzory ferrari co to ? jak je stosować ? a są jeszcze inne wzory do wyższych potęg ?

Google je zna.
A jak zrobić :
- pochodna
- ekstrema
- wniosek.

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 20:52

ok ale jak zrobć powyższy przykład wzorem ferrari _

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 sty 2013, o 20:53

Co do wyższych potęg to np dla piątego przekształcenia Tchirnhausena i funkcje hipergeometryczne
(Felix Klein rozwiązywał w ten sposób)
Można także skorzystać z funkcji modularnych
Podobno jakieś wyniki uzyskano z użyciem funkcji \(\displaystyle{ \theta}\)
W sieci nie znalazłem dobrego artykułu na ten temat
Jeżeli chodzi o rozwiązanie z użyciem tylko czterech działań arytmetycznych i wyciągania pierwiastków
to według twierdzenia Abela-Rufiniego nie da rady

Na równania niższych potęg działa uzupełnianie do kwadratu (sześcianu)
albo zabawa z funkcjami symetrycznymi (wielu zmiennych)

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 20:56

Rozumiem,lecz na poniedziałek mam zrobić zadania składające sie po trzydzieści przykładów i mam zastosować inne sposoby rozwiązaniem - tak kazała mi nauczycielka ,niestety tych metod nie ogarniam

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 sty 2013, o 21:51

\(\displaystyle{ 6x ^{4} +5x^{3}-5x+7=0}\)

Proponuję abyś rozłożył to równanie najpierw na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Wielomian czwartego stopnia możesz zapisać w postaci różnicy kwadratów
a następnie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ 6x ^{4} +5x^{3}-5x+7=0\\
36x^4+30x^3-30x+42=0\\
\left( 36x^4-30x^3+ \frac{25}{4}x^2 \right)-\left( \frac{25}{4}x^2+30x-42 \right)=0\\
\left( 6x^2- \frac{5}{2}x \right)^2-\left( \frac{25}{4}x^2+30x-42 \right)=0\\
\left(6x^2- \frac{5}{2}x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( 6y+ \frac{25}{4} \right)x^2+\left( - \frac{5}{2}y+30 \right)x+ \frac{y^2}{4}-42 \right)=0\\
\Delta=0\\
\left( y^2-168\right)\left( 6y+ \frac{25}{4} \right)-\left( \frac{5}{2}y-30 \right)^2=0\\
6y^3+ \frac{25}{4}y^2-1008y-1050- \frac{25}{4}y^2+150y-900=0\\
6y^3-858y-1950=0\\
y^3-143y-325=0\\
y^3=143y+325\\
y^3-3y^2z+3yz^2-z^3=-3y^2z+3yz^2-z^3+143y+325 \\
\left( y-z\right)^3=-y\left( 3yz-3z^2-143\right)-z^3+325\\
3yz-3z^2-143=0\\
3yz-3z^2=143\\
3z\left( y-z\right)=143\\
y-z= \frac{143}{3z}\\
\left( \frac{143}{3z} \right)^3=-z^3+325\\
z^3-325+\left( \frac{143}{3z} \right)^3=0\\
z^6-325z^3+\left( \frac{143}{3} \right)^3=0\\
y=z+\frac{143}{3z}\\}\)

Możesz też wymnożyć dwa trójmiany kwadratowe i porównać współczynniki

\(\displaystyle{ 6x ^{4} +5x^{3}-5x+7=0\\
\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)=x^4+ \frac{5}{6}x^3- \frac{5}{6}x+ \frac{7}{6}=0\\}\)

Po porównaniu współczynników dostajesz układ równań który rozwiązujesz tak jak proponuje Rogal

Rogal pisze:Z tego, co pamiętam, to po wstawieniu r z pierwszego, potraktowaniu p jako stałą w następnych dwóch otrzymujemy układ dwóch równań liniowych na q i s - wyznaczamy je (choćby wyznacznikami), a następnie tak uzależnione od p q i s wstawiamy do ostatniego równania, by otrzymać równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ p^{2}}\).

Tutaj Rogal nie był zbyt dokładny ,ponieważ równania trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ p^{2}}\)
nie otrzymujesz od razu po wykonaniu opisanych przez niego czynności

Dostaniesz równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ p^2}\)
po zastosowaniu jednego z naspępujących podstawień

Podstawienie

\(\displaystyle{ x=y- \frac{5}{24}}\)

stosujesz w równaniu \(\displaystyle{ 6x ^{4} +5x^{3}-5x+7=0}\)

Podstawienie \(\displaystyle{ p=y+\frac{5}{12}}\)
stosujesz w równaniu orzymanym po wykonaniu czynności opisanych przez Rogala
jeżeli nie zastosowałeś podstawienia w równaniu czwartego stopnia

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 21:57

ok,wielkie dzięki,daję +pomógł

masz zapisany link do jego artykułu >?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 4 sty 2013, o 22:11

Pomnożyłem równanie przez 6
aby wygodniej zapisać wielomian w postaci różnicy kwadratów
(nie mamy pierwiastka który by się pojawił)

Co do tego Rogala to problem z nim jest taki że on tego artykułu nie skończył
a cytat wziąłem stąd 259195.htm

Rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych przez sprowadzenie wielomianu
do postaci różnicy kwadratów dość dobrze tłumaczy Vax na swoim przykładzie
227371.htm

kyos · Post autor: **kyos** » 4 sty 2013, o 22:26

ok ,dzieki posiedze i naucze sie

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 5 sty 2013, o 00:19

Coś pomyliłem znak przy sprowadzaniu do postaci różnicy kwadratów
ale idea jest dobra

Na pewno miałeś szukać tylko wymiernych ?
Jak tak to wystarczy tylko sprawdzać liczby wymierne gdzie licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego
a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej (tutaj x)
Dowód powyższego twierdzenia zdaje się że można znaleźć na tym forum
W tym przypadku wielomian wymiernych pierwiastków nie posiada