Jak wyznaczyć pierwiastek wielomianu?

[paskur]

Mam taki wielomian

\(\displaystyle{ -124a ^{3} +3a ^{2}+3a+1=0}\)

Rozwiązanie policzył mi kalkulator jako 0.25

Jest jakiś szybki sposób na rozwiązanie tego? Bo jedyne co przychodzi mi do głowy to odwrotności dzielników 124 po kolei sprawdzać, jest takie twierdzenie zdaje się

[sdamian]

jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), to \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego , natomiast \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem wyrazu występującego przy najwyższej potędze zmiennej,
czyli pierwiastków wymiernych wielomianu szukasz obliczając jego wartość dla ułamków postaci
\(\displaystyle{ \frac{\pm\text{jednen z dzielników wyrazu wolnego}}{\pm\text{jeden z dzielników wyrazu przy najwyzszej potedze}}}\)

[paskur]

chyba nie przeczytales mojego postu, mowilem o tym sposobie, pytam o inny

[piasek101]

Podpowiedź \(\displaystyle{ -124a^3+(a+1)^3-a^3=0}\)

[Mariusz M]

paskur, nie zaglądałeś do kompendium tematu Rogala ?
On tam miał napisać o rozwiązywaniu równań wielomianowych wyższych stopni
a skończyło się na równaniu kwadratowym i sześciennym

Jeżeli mamy równanie trzeciego stopnia postaci

\(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0 \qquad\left( \star\right)}\)

to stosujemy podstawienie

\(\displaystyle{ x=y- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

aby otrzymać równanie postaci

\(\displaystyle{ y^3+py+q=0 \qquad\left( \star\star\right)}\)

Teraz masz kilka możliwości

1. Stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ u+v}\)
a następnie otrzymane równanie grupujesz i przekształcasz w układ równań
który przypomina wzory Viete dla równania kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)
2. Używasz podobnego pomysłu do tego znanego pod nazwą uzupełnianie kwadratu
tyle że teraz uzupełniasz do sześcianu wprowadzając nową zmienną
(aby wyrugować starą zmienną z jednej ze stron równania)
3. Korzystasz z pomysłu którego można nazwać trysekcja kąta (metoda niealgebraiczna)
Odpowiednim podstawieniem sprowadzasz równanie \(\displaystyle{ \left( \star\star\right)}\)
do wzoru na funkcje trygonometryczne(hiperboliczne) kąta potrojonego

Jeżeli bawiłeś się wcześniej funkcjami symetrycznymi (wielu zmiennych)
to możesz sprowadzić równanie \(\displaystyle{ \left( \star\right)}\)
do równania kwadratowego bez sprowadzania go do równania \(\displaystyle{ \left( \star\star\right)}\)

Niech

\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}}\)

Rozważmy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1}\\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a_{2} \end{cases}\\}\)

Współczynniki wielomianu

\(\displaystyle{ \left( z-u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( z-u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( z-\varepsilon_{2}u_{2}\right)}\)
są funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania trzeciego stopnia i mogą być wyrażone przez
funkcje symetryczne podstawowe a co za tym idzie przez współczynniki wielomianu trzeciego stopnia

Sposób może wydawać się skomplikowany ale nie musisz
sprawdzać po kolei liczb wymiernych gdzie licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego
a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze
(które mogą ale nie muszą być pierwiastkami)
ani zastanawiać się jakie to wzory skróconego mnożenia mogą być przydatne