Układ równań - jak go rozwiązać?
Układ równań - jak go rozwiązać?
Witam,
Ma ktoś pomysł jak rozwiązać następujący układ równań?
\(\displaystyle{ x+y+z = -3 \\
x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z = 13 \\
x \cdot y \cdot z = -38}\)
Pozdrawiam,
Piotr
Ma ktoś pomysł jak rozwiązać następujący układ równań?
\(\displaystyle{ x+y+z = -3 \\
x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z = 13 \\
x \cdot y \cdot z = -38}\)
Pozdrawiam,
Piotr
Ostatnio zmieniony 29 gru 2012, o 16:14 przez kamil13151, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Znak mnożenia to \cdot - jest w tabelce
Powód: Znak mnożenia to \cdot - jest w tabelce
Układ równań - jak go rozwiązać?
No właśnie w tym problem, bo otrzymam układ równań kwadratowych i nawet jeśli uda mi się je zredukować do jednego równania to będzie to równanie trzeciego stopnia...
I co z tym zrobić?
Może ktoś ma inny pomysł?
Piotr
I co z tym zrobić?
Może ktoś ma inny pomysł?
Piotr
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
Pięknego rozwiązania nie ma, więc może się pomyliłeś przepisując układ?
Jeśli jednak nie i miałeś zespolone to można dany układ zamienić (wzorami Viete'a) na jedno równanie: \(\displaystyle{ a^3+3a^2+13a+38=0}\), a teraz np. wzory Cardano (jeden rzeczywisty, a dwa pierwiastki zespolone...).
Kod: Zaznacz cały
http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%2Bb%2Bc%3D-3+and+ab%2Bbc%2Bac%3D13+and+abc%3D-38
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
Dla takich układów zawsze działa ten sam sposób. Skonstruujmy wielomian, którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\).
\(\displaystyle{ V(t)=(t-x)(t-y)(t-z) = t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz = t^3 + 3t^2 + 13t + 37}\)
Niestety wielomian ten nie ma "ładnych" pierwiastków. Tak samo ten układ nie ma ładnych rozwiązań.
Oj za późno
\(\displaystyle{ V(t)=(t-x)(t-y)(t-z) = t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz = t^3 + 3t^2 + 13t + 37}\)
Niestety wielomian ten nie ma "ładnych" pierwiastków. Tak samo ten układ nie ma ładnych rozwiązań.
Oj za późno
Układ równań - jak go rozwiązać?
Niestety wszystko to już przerabiałem.
Liczyłem, że może ktoś znajdzie jakiś zupełnie inny sposób żeby to rozwiązać.
W takim razie zrobię krok wstecz. Ten problem pojawił się podczas rozwiązywania układu równań:
\(\displaystyle{ x+y^2=7 \\
x^2+y=11}\)
Znalazłem jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=3; \ \ y=2.}\)
Ale są jeszcze trzy inne rzeczywiste rozwiązania.
Jak je obliczyć?
Pozdrawiam,
Piotr-- 29 gru 2012, o 18:08 --Dlaczego piszesz że jest tylko jedno rzeczywiste?
Metoda graficzna pokazuje cztery rozwiązania rzeczywiste.
Wykresy w układzie xy przecinają się w czterech miejscach.
Pozdrawiam,
Piotr
Liczyłem, że może ktoś znajdzie jakiś zupełnie inny sposób żeby to rozwiązać.
W takim razie zrobię krok wstecz. Ten problem pojawił się podczas rozwiązywania układu równań:
\(\displaystyle{ x+y^2=7 \\
x^2+y=11}\)
Znalazłem jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=3; \ \ y=2.}\)
Ale są jeszcze trzy inne rzeczywiste rozwiązania.
Jak je obliczyć?
Pozdrawiam,
Piotr-- 29 gru 2012, o 18:08 --Dlaczego piszesz że jest tylko jedno rzeczywiste?
Metoda graficzna pokazuje cztery rozwiązania rzeczywiste.
Wykresy w układzie xy przecinają się w czterech miejscach.
Pozdrawiam,
Piotr
Ostatnio zmieniony 29 gru 2012, o 17:56 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Poprawa wiadomości. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
Dany układ równań sprowadza się do równania czwartego stopnia, które możemy sprowadzić do trzeciego (gdyż znamy jeden pierwiastek), ale i tak pierwiastki nie są ładne. Natomiast jak wyznaczyć dane miejsca zerowe wspomniałem wyżej.
-
- Użytkownik
- Posty: 166
- Rejestracja: 13 kwie 2012, o 00:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 14 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
odejmij równania stronami i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów
następnie wyłącz co trzeba przed nawias i dalej zabawa w przypadki
następnie wyłącz co trzeba przed nawias i dalej zabawa w przypadki
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
My tu nie rozwiązujemy układu tylko w liczbach całkowitych...HuBson pisze:odejmij równania stronami i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów
następnie wyłącz co trzeba przed nawias i dalej zabawa w przypadki
Układ równań - jak go rozwiązać?
To wiem i dlatego poprosiłem Was o pomoc.kamil13151 pisze:Dany układ równań sprowadza się do równania czwartego stopnia, które możemy sprowadzić do trzeciego (gdyż znamy jeden pierwiastek), ale i tak pierwiastki nie są ładne.
kamil13151 pisze:Natomiast jak wyznaczyć dane miejsca zerowe wspomniałem wyżej.
Ale graficzne rozwiązanie pokazuje cztery pierwiastki rzeczywiste.kamil13151 pisze:Jeśli jednak nie i miałeś zespolone to można dany układ zamienić (wzorami Viete'a) na jedno równanie: , a teraz np. wzory Cardano (jeden rzeczywisty, a dwa pierwiastki zespolone...)
Można je wyznaczyć numerycznie, ale...
Pozdrawiam,
Piotr
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
Zauważ, że cytując moje słowa była mowa o układzie z pierwszego posta, w którym układ sprowadzał się do: \(\displaystyle{ a^3+3a^2+13a+38=0}\). Natomiast w drugim układzie sprowadza nam się do \(\displaystyle{ x^3+3x^2-13x-38=0}\), te równanie ma już trzy rozwiązania rzeczywiste.Ale graficzne rozwiązanie pokazuje cztery pierwiastki rzeczywiste.
Układ równań - jak go rozwiązać?
Racja.
Dzięki. Próbuję z wzorami Cardano.
Pozdrawiam,
Piotr-- 29 gru 2012, o 20:11 --Jest "Zonk"...
Licząc wg wzorów Cardano:
delta = 2101, wzór: \(\displaystyle{ \ delta = - 4*c^3*a + c^2*b^2 +18*c*b*a*d - 27*d^2*a^2 -4*d*b^3}\)
Natomiast we wzorach na każdy pierwiastek jest wyrażenie: \(\displaystyle{ \sqrt{-3*delta}}\)
Czyli wg wzorów Cardano równanie \(\displaystyle{ x^3+3x^2-13x-38=0}\) nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego, co nie jest prawdą!!!
No i co z tym zrobić dalej?
PS.:
Pewnie dlatego "wolfram" pokazuje 1 pierwiastek rzeczywisty i trzy zespolone. Fakt faktem że współczynnik przy "i" jest w -15 potędze czyli można go pominąć, ale powinien być równy "0".
Dzięki. Próbuję z wzorami Cardano.
Pozdrawiam,
Piotr-- 29 gru 2012, o 20:11 --Jest "Zonk"...
Licząc wg wzorów Cardano:
delta = 2101, wzór: \(\displaystyle{ \ delta = - 4*c^3*a + c^2*b^2 +18*c*b*a*d - 27*d^2*a^2 -4*d*b^3}\)
Natomiast we wzorach na każdy pierwiastek jest wyrażenie: \(\displaystyle{ \sqrt{-3*delta}}\)
Czyli wg wzorów Cardano równanie \(\displaystyle{ x^3+3x^2-13x-38=0}\) nie ma żadnego pierwiastka rzeczywistego, co nie jest prawdą!!!
No i co z tym zrobić dalej?
PS.:
Pewnie dlatego "wolfram" pokazuje 1 pierwiastek rzeczywisty i trzy zespolone. Fakt faktem że współczynnik przy "i" jest w -15 potędze czyli można go pominąć, ale powinien być równy "0".
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Układ równań - jak go rozwiązać?
\(\displaystyle{ a^3+3a^2+13a+38=0\\
a=y-1\\
y^3-3y^2+3y-1+3y^2-6y+3+13y-13+38=0\\
y^3+10y+27=0\\
y=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+10\left( u+v\right)+27=0\\
u^3+v^3+27+3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{10}{3}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+27=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{10}{3}\right)=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-27 \\ u^3v^3=-\frac{1000}{27} \end{cases}\\
t^2+27t-\frac{1000}{27}=0\\
\left(t+\frac{27}{2}\right)^2-\frac{729}{4}-\frac{1000}{27}=0\\
\left(t+\frac{27}{2}\right)^2-\frac{71049}{324}=0\\
\left( t+\frac{243- \sqrt{71049} }{18}\right)\left( t+\frac{243+ \sqrt{71049} }{18}\right)\\
u_{0}= \frac{1}{6} \sqrt[3]{-2916+12\sqrt{71049}}\\
v_{0}= \frac{1}{6} \sqrt[3]{-2916+12\sqrt{71049}}\\}\)
Tak dobieramy pierwiastki trzeciego stopnia aby
\(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\)
spełniały układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_{2}}\)
spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\) będzie spełniać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
to
\(\displaystyle{ u_{1}=\varepsilon_{1}u_{0}\\
v_{1}=\varepsilon_{2}v_{0}\\}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_{2}=\varepsilon_{2}u_{0}\\
v_{2}=\varepsilon_{1}v_{0}\\}\)
także będą spełniały układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
Jednym z pierwiastków jest (jeżeli się gdzieś w rachunkach nie pomyliłem)
\(\displaystyle{ a_{1}=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{-2916-12\sqrt{71049}}+\sqrt[3]{-2916+ 12\sqrt{71049}} -6\right)}\)
Może to błąd dokładności związany z reprezentacją liczby na maszynie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2=7 \\
x^2+y=11 \end{cases} \\
\begin{cases} x+y^2=7 \\ y=11-x^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x+\left( 11-x^2\right)=7 \\ y=11-x^2 \end{cases} \\
x+121-22x^2+x^4=7\\
x^4-22x^2+x+114=0\\
\left( x^2-px+q\right)\left( x^2+px+r\right)=x^4-22x^2+x+114\\
x^4+px^3+rx^2-px^3-p^2x^2-prx+qx^2+pqx+qr=x^4-22x^2+x+114\\
x^4+\left( q+r-p^2\right)x^2+\left( pq-pr\right)x+qr=x^4-22x^2+x+114\\
\begin{cases} q+r-p^2=-22 \\ pq-pr=1\\qr=114 \end{cases}\\
\begin{cases} q+r=-22+p^2 \\ p\left( q-r\right)=1\\qr=114 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-22+p^2 \\ q-r=\frac{1}{p}\\4qr=456 \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=-22+p^2+\frac{1}{p} \\ 2r=-22+p^2-\frac{1}{p}\\4qr=456 \end{cases}\\
\left( p^2-22+\frac{1}{p}\right)\left( p^2-22- \frac{1}{p} \right)=456\\
\left( p^2-22\right)^2-\frac{1}{p^2}-456=0\\
p^4-44p^2+484-456-\frac{1}{p^2}=0\\
p^4-44p^2+28-\frac{1}{p^2}=0\\
p^6-44p^4+28p^2-1=0}\)
a=y-1\\
y^3-3y^2+3y-1+3y^2-6y+3+13y-13+38=0\\
y^3+10y+27=0\\
y=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+10\left( u+v\right)+27=0\\
u^3+v^3+27+3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{10}{3}\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+27=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+\frac{10}{3}\right)=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-27 \\ u^3v^3=-\frac{1000}{27} \end{cases}\\
t^2+27t-\frac{1000}{27}=0\\
\left(t+\frac{27}{2}\right)^2-\frac{729}{4}-\frac{1000}{27}=0\\
\left(t+\frac{27}{2}\right)^2-\frac{71049}{324}=0\\
\left( t+\frac{243- \sqrt{71049} }{18}\right)\left( t+\frac{243+ \sqrt{71049} }{18}\right)\\
u_{0}= \frac{1}{6} \sqrt[3]{-2916+12\sqrt{71049}}\\
v_{0}= \frac{1}{6} \sqrt[3]{-2916+12\sqrt{71049}}\\}\)
Tak dobieramy pierwiastki trzeciego stopnia aby
\(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\)
spełniały układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ \varepsilon_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_{2}}\)
spełniają układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \\ \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \end{cases}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ u_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{0}}\) będzie spełniać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
to
\(\displaystyle{ u_{1}=\varepsilon_{1}u_{0}\\
v_{1}=\varepsilon_{2}v_{0}\\}\)
oraz
\(\displaystyle{ u_{2}=\varepsilon_{2}u_{0}\\
v_{2}=\varepsilon_{1}v_{0}\\}\)
także będą spełniały układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=27 \\ uv=-\frac{10}{3} \end{cases}}\)
Jednym z pierwiastków jest (jeżeli się gdzieś w rachunkach nie pomyliłem)
\(\displaystyle{ a_{1}=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{-2916-12\sqrt{71049}}+\sqrt[3]{-2916+ 12\sqrt{71049}} -6\right)}\)
Może to błąd dokładności związany z reprezentacją liczby na maszynie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2=7 \\
x^2+y=11 \end{cases} \\
\begin{cases} x+y^2=7 \\ y=11-x^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x+\left( 11-x^2\right)=7 \\ y=11-x^2 \end{cases} \\
x+121-22x^2+x^4=7\\
x^4-22x^2+x+114=0\\
\left( x^2-px+q\right)\left( x^2+px+r\right)=x^4-22x^2+x+114\\
x^4+px^3+rx^2-px^3-p^2x^2-prx+qx^2+pqx+qr=x^4-22x^2+x+114\\
x^4+\left( q+r-p^2\right)x^2+\left( pq-pr\right)x+qr=x^4-22x^2+x+114\\
\begin{cases} q+r-p^2=-22 \\ pq-pr=1\\qr=114 \end{cases}\\
\begin{cases} q+r=-22+p^2 \\ p\left( q-r\right)=1\\qr=114 \end{cases} \\
\begin{cases} q+r=-22+p^2 \\ q-r=\frac{1}{p}\\4qr=456 \end{cases} \\
\begin{cases} 2q=-22+p^2+\frac{1}{p} \\ 2r=-22+p^2-\frac{1}{p}\\4qr=456 \end{cases}\\
\left( p^2-22+\frac{1}{p}\right)\left( p^2-22- \frac{1}{p} \right)=456\\
\left( p^2-22\right)^2-\frac{1}{p^2}-456=0\\
p^4-44p^2+484-456-\frac{1}{p^2}=0\\
p^4-44p^2+28-\frac{1}{p^2}=0\\
p^6-44p^4+28p^2-1=0}\)