Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian

[rybka098]

Zad. 1 Reszta z dzielenia wielomianu W przed wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = x ^{4} + x ^{3} - x - 1}\) wynosi \(\displaystyle{ x ^{3} + x ^{2} + x + 2}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez \(\displaystyle{ x^{2}-1}\)

\(\displaystyle{ Q(x) = x^{4}+x ^{3} - x - 1}\)
\(\displaystyle{ P(x) = x ^{3} + x ^{2} + x +2}\)

\(\displaystyle{ W(x) : (Q(x)x ^{4} + x ^{3} - x - 1) = x ^{3} + x ^{2} + x + 2}\)
\(\displaystyle{ W(x): (x ^{2} - 1 )= ax + b}\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x ^{3} + x ^{2} +x + 2 )(x ^{4} + x ^{3} - x -1)}\)
\(\displaystyle{ W(x)= (x ^{2} -1 )(ax+b)}\)

\(\displaystyle{ ( x^{3}+ x ^{2} + x + 2 )(x ^{4} + x ^{3} - x - 1) = (x ^{2} - 1 )(ax + b)}\)

Zrobiłam tyle nie mam pojęcia co zrobić dalej :/. Z góry dziękuję za pomoc:)

[piasek101]

\(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)+x^3+x^2+x+2}\)

oraz
\(\displaystyle{ W(x)=T(x)\cdot (x^2-1)+ax+b}\) i liczysz \(\displaystyle{ W(1)}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)}\) z obu postaci.

[rybka098]

Co to jest T(x)?

i \(\displaystyle{ W(1) i W (-1)}\) liczę dla : \(\displaystyle{ W(x)=T(x)\cdot (x^2-1)+ax+b}\) czy \(\displaystyle{ W(x)=P(x)\cdot Q(x)+x^3+x^2+x+2}\) ?

[piasek101]

\(\displaystyle{ T(x)}\) - jakiś wielomian (nieistotny).

Liczysz \(\displaystyle{ W(1)}\) z pierwszego mojego i przyrównujesz z \(\displaystyle{ W(1)}\) liczonego z drugiego.

Analogicznie dla (-1).

Będziesz miała dwa równania z dwoma niewiadomymi (a) i (b).

[rybka098]

No tak ale żeby policzyć W(1) muszę wiedzieć jakiego stopnia jest wielomian T(x)

[piasek101]

Nie musisz ,,nieistotny" - wstaw 1 i licz.

[rybka098]

tak zrobiłam

\(\displaystyle{ W(1) = 5}\)
\(\displaystyle{ W(1) = a+b}\)

\(\displaystyle{ W(-1) = 1}\)
\(\displaystyle{ W(-1) = -a + b}\)

\(\displaystyle{ 5= a+b}\)
\(\displaystyle{ 1= - a + b}\)

\(\displaystyle{ a= b - 1}\)
\(\displaystyle{ 5 = b - 1 +b}\)

\(\displaystyle{ a = b- 1}\)
\(\displaystyle{ 6 = 2b}\)

\(\displaystyle{ b = 3}\)
\(\displaystyle{ a = 2}\)

[piasek101]

No i gra.

[rybka098]

Dzięki za pomoc