reszta z dzielenia

[Karolina93]

Nie wykonując działań obliczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli
\(\displaystyle{ P(x)= x^{2002}+x^{2001}+2000 \ \ \ \ \ \ Q(x)=x^{4}-2x^{2}+1=(x^{2}-1)^{2}}\)

Oczywiście wiadomo, że

\(\displaystyle{ P(x)= Q(x) \cdot S(x)+R(x)}\)
\(\displaystyle{ x^{2002}+x^{2001}+2000= (x^{2}-1)^{2} \cdot S(x)+R(x)}\)

Jak to dalej policzyć ? Proszę o pomoc.

[Ser Cubus]

podstaw x = 1, bo to jest miejsce zerwoe Twojego Q(x), zostanie tylko R(x) czyli reszta

[Karolina93]

no chyba nie bardzo. Odpowiedź jest taka: \(\displaystyle{ 1000x^{3}+1001x^{2}-1999x+1000}\)

[Mariusz M]

Ser Cubus, za bardzo skrótowo podszedł do sprawy

Przedstaw resztę jako \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)

Tak jak napisałeś(aś) masz \(\displaystyle{ P\left( x\right)=Q\left( x\right)S\left( x\right)+R\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ P\left( x\right)=Q\left( x\right)S\left( x\right)+R\left( x\right) \\
P\left( x\right)=Q\left( x\right)S\left( x\right)+\left(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} \right) \\
P\left( x\right)=\left( x^2-1\right)^2S\left( x\right)+\left(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} \right)\\
P^{\prime}\left( x\right)=4x\left( x^2-1\right)S\left( x\right)+\left( x^2-1\right)^2S^{\prime}\left( x\right)+\left( 3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)}\)

Wstaw \(\displaystyle{ x=-1}\)
oraz \(\displaystyle{ x=1}\)

Policz pochodną i wstaw te same wartości \(\displaystyle{ x}\) do pochodnej
a dostaniesz układ równań na współczynniki