parametry , suma pierwiastków itp.

[rybka098]

Zad 1

a) Wiedząc że trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ ax ^{2} + bx + c}\)przyjmuje największą wartość równą 11 dla \(\displaystyle{ x = 3}\)oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ 2x ^{4} + 4x ^{3}+ ax ^{2} + bx +c}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\)

b) Oblicz sumę odwrotności pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ 2x ^{4} + 4x ^{3} + kx ^{2} + mx + 2}\) wiedząc że jest on podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ x ^{2} + x -2}\)

c) Oblicz sumę pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ 2x ^{4} + 4x ^{3} + px ^{2}+ qx +2}\) przy założeniu że posiada on cztery różne pierwiastki

Do przykładu a wiem tyle że:

\(\displaystyle{ - \frac{b}{2a} = 3}\)
\(\displaystyle{ \frac{b ^{2}+ 4ac }{4a} = 11}\)
\(\displaystyle{ 9a + 3b + c = 11}\)

Niby to układ równań z 3 niewiadomymi a nie da się policzyć bo a i b wychodzi 0

b) \(\displaystyle{ 2x ^{4} + 4x ^{3} + kx ^{2} + mx + 2}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} + x -2}\)

\(\displaystyle{ x _{1} = -2}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x-1)}\)

\(\displaystyle{ W(-2) = 0}\)
\(\displaystyle{ W(1) = 0}\)

\(\displaystyle{ W(-2) = 32-32 + 4k - 2m + 2}\)
\(\displaystyle{ W(1)= 2 + 4 + k + m + 2}\)

\(\displaystyle{ 2k - m + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ m = -k - 8}\)

\(\displaystyle{ 2k + k + 8 +1}\)
\(\displaystyle{ 3k = - 9}\)
\(\displaystyle{ k = -3}\)
\(\displaystyle{ m = 5}\)

\(\displaystyle{ W(x)= 2x ^{4} + 4x ^{3} - 3x ^{2} + 5x + 2}\)

c) w ogóle nie mam pomysłu jak zrobić :/


Z góry dziękuję za pomoc

[kamil13151]

a) Nie jesteśmy w stanie obliczyć wszystkich zmiennych - za mało danych. Z pierwszej informacji wiemy \(\displaystyle{ a(x-3)^2+11}\), co daje nam \(\displaystyle{ W(1)=2+4+a2^2+11}\).

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} k=-3 \\ \red m=-5 \end{cases}}\)

c) Patrz dowód wzorów Viete'a:

[rybka098]

Co do przykładu a to też mi się tak zdawało, przykład b racja powinno być - 5, przykład c no to właśnie nie wiem jak się wzorów vieta używa w wielomianach .

Tak samo jak w funkcji kwadratowej? :

\(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} = - \frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2}= \frac{c}{a}}\)

[kamil13151]

Przeczytałaś wszystko co w tym linku? Chyba nie, zobacz przypadek ogólny.

[rybka098]

Przeczytałam ale pierwszy raz coś takiego widzę i nie wiem jak tego używać

no rozumiem że \(\displaystyle{ x _{1} ,x _{2},x _{3},x _{4}}\) są pierwiastkami wielomianu

i suma tych pierwiastków równa się :\(\displaystyle{ \frac{-a _{n}-1 }{an}}\)
a iloczyn pierwiastków wielomianu to : \(\displaystyle{ \frac{a _{n} -2}{a _{n} }}\)

a co to jest to \(\displaystyle{ a _{n}?}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}\) wówczas \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}}\)

U nas jest: \(\displaystyle{ 2x ^{4} + 4x ^{3} + px ^{2}+ qx +2}\), \(\displaystyle{ a_4=2}\), \(\displaystyle{ a_{3}=4}\), co daje, że \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4= -\frac{4}{2}=-2}\).

[rybka098]

Aha już rozumiem jak to działa czyli - 2 jest sumą pierwiastków tego wielomianu?

[kamil13151]

Zgadza się \(\displaystyle{ (-2)}\).

[rybka098]

to nawet nie jest takie trudne Dzięki za pomoc