Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W}\) takie, że \(\displaystyle{ W( x^{2} ) = (W(x))^{2}}\) , dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
Gdy podnosimy \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu to współczynniki wielomianu nie ulegają zmianie, zatem na pewno przy najwyższej potędze musi być współczynnik 1. Wyraz wolny też musi być jedynką, bądź ma go wcale nie być. Pytanie, co ze środkowymi wyrazami? Po lewej stronie będziemy mieli same parzyste potęgi \(\displaystyle{ x}\), natomiast przy podnoszeniu całego wielomianu do kwadratu, chyba pojawią się również nieparzyste potęgi \(\displaystyle{ x}\), o ile takie występują w wyjściowym wielomianie... Dlatego reasumując doszedłem tylko do wielomianów postaci \(\displaystyle{ W(x) = x^{n}}\) , nie wiem jakie dalej mogą spełniać warunek zadania... Proszę o jakąś pomoc, wskazówki, cokolwiek
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 1 wrz 2012, o 20:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wrocław
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
Ostatnio zmieniony 22 gru 2012, o 14:13 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania. Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
Zastanów się nad stopniem. Jak zmienia się stopień po prawej stronie?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
Warunki zadania spełnia także wielomian zerowy
Załóż, że \(\displaystyle{ k}\) jest największą taką liczbą, że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{k} \neq 0 \quad k<n}\) i zbadaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n+k}}\).
Załóż, że \(\displaystyle{ k}\) jest największą taką liczbą, że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{k} \neq 0 \quad k<n}\) i zbadaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n+k}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 1 wrz 2012, o 20:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wrocław
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
czyli mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n}}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 1}\)
stopień wielomianu po prawej będzie dwa razy większy od stopnia wielomianu wyjściowego, analogicznie po lewej
czy u Ciebie Ponewor \(\displaystyle{ n}\) jest stopniem wielomianu? jeśli tak, to...
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n} + a x^{k} + ...}\)
\(\displaystyle{ W( x^{2}) = x^{2n} + ax^{2k} + ...}\)
\(\displaystyle{ (W(x))^{2} = x^{2n} + 2ax^{n+k} + ...}\)
co to daje...? jeśli \(\displaystyle{ n>k}\) to \(\displaystyle{ n+k > 2k}\) czyli te wielomiany nie mogą być sobie równe, dobrze rozumuje?
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n}}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 1}\)
stopień wielomianu po prawej będzie dwa razy większy od stopnia wielomianu wyjściowego, analogicznie po lewej
czy u Ciebie Ponewor \(\displaystyle{ n}\) jest stopniem wielomianu? jeśli tak, to...
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n} + a x^{k} + ...}\)
\(\displaystyle{ W( x^{2}) = x^{2n} + ax^{2k} + ...}\)
\(\displaystyle{ (W(x))^{2} = x^{2n} + 2ax^{n+k} + ...}\)
co to daje...? jeśli \(\displaystyle{ n>k}\) to \(\displaystyle{ n+k > 2k}\) czyli te wielomiany nie mogą być sobie równe, dobrze rozumuje?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Znajdź wszystkie wielomiany takie, że
Dokładnie tak. I ta sprzeczność dowodzi, że wielomian musi być postaci \(\displaystyle{ x^{n}}\) pomijając wielomiany stałe.