Znajdź wszystkie wielomiany takie, że

[Aandree12]

Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W}\) takie, że \(\displaystyle{ W( x^{2} ) = (W(x))^{2}}\) , dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)

Gdy podnosimy \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu to współczynniki wielomianu nie ulegają zmianie, zatem na pewno przy najwyższej potędze musi być współczynnik 1. Wyraz wolny też musi być jedynką, bądź ma go wcale nie być. Pytanie, co ze środkowymi wyrazami? Po lewej stronie będziemy mieli same parzyste potęgi \(\displaystyle{ x}\), natomiast przy podnoszeniu całego wielomianu do kwadratu, chyba pojawią się również nieparzyste potęgi \(\displaystyle{ x}\), o ile takie występują w wyjściowym wielomianie... Dlatego reasumując doszedłem tylko do wielomianów postaci \(\displaystyle{ W(x) = x^{n}}\) , nie wiem jakie dalej mogą spełniać warunek zadania... Proszę o jakąś pomoc, wskazówki, cokolwiek

[szw1710]

Zastanów się nad stopniem. Jak zmienia się stopień po prawej stronie?

[Ponewor]

Warunki zadania spełnia także wielomian zerowy
Załóż, że \(\displaystyle{ k}\) jest największą taką liczbą, że współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{k} \neq 0 \quad k<n}\) i zbadaj współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n+k}}\).

[Aandree12]

czyli mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n}}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 0}\) lub \(\displaystyle{ W(x) = 1}\)

stopień wielomianu po prawej będzie dwa razy większy od stopnia wielomianu wyjściowego, analogicznie po lewej

czy u Ciebie Ponewor \(\displaystyle{ n}\) jest stopniem wielomianu? jeśli tak, to...
\(\displaystyle{ W(x) = x^{n} + a x^{k} + ...}\)
\(\displaystyle{ W( x^{2}) = x^{2n} + ax^{2k} + ...}\)
\(\displaystyle{ (W(x))^{2} = x^{2n} + 2ax^{n+k} + ...}\)

co to daje...? jeśli \(\displaystyle{ n>k}\) to \(\displaystyle{ n+k > 2k}\) czyli te wielomiany nie mogą być sobie równe, dobrze rozumuje?

[Ponewor]

Dokładnie tak. I ta sprzeczność dowodzi, że wielomian musi być postaci \(\displaystyle{ x^{n}}\) pomijając wielomiany stałe.

[Aandree12]

super, dzięki