Rozłóż wielomian "w" na czynniki i podaj jego pierwiastki.

miszczurek · Post autor: **miszczurek** » 18 gru 2012, o 17:43

Witam. Mam problem z rozłożeniem kilku wielomianów na czynniki, gdyż nie potrafię tego zrobić, gdy nie ma podanego wyrazu wolnego.

Np.

\(\displaystyle{ w(x)=5x^{2}-10 x^{3} +5x}\)

Domyślam się, że trzeba wykorzystać wzór skróconego mnożenia, ale nie mam pomysłu jak je dobierać do takich przykładów.
Potrafię rozwiązać sześcian:

\(\displaystyle{ w(x)=125x^{3}-27
\\w(x)=(5-3)(25+15+9)=125+75+45-75-45-27=98
\\w(x)=98}\)

Tak to się robi? I proszę o pomoc w pierwszym przykładzie.

arcan · Post autor: **arcan** » 18 gru 2012, o 17:44

Wyłączasz przed nawias x i liczysz z delty kolejne pierwiastki.

\(\displaystyle{ w(x)=5x^{2}-10 x^{3} +5x=5x(x-2 x^{2} +1)}\). Policzyć?

Jeden pierwiastek to liczba \(\displaystyle{ 0}\). Resztę wyliczysz rozwiązując funkcję kwadratową w nawiasie (przyrównaj do zera).

miszczurek · Post autor: **miszczurek** » 18 gru 2012, o 17:51

Przepraszam, ale kompletnie tego nie rozumiem. Delta wychodzi mi 0, ale nie wiem co znaczy "przyrównać do zera". Mam duże zaległości w tych tematach, mógłbyś napisać całe rozwiązanie, żebym mogła sobie przeanalizować? Byłabym wdzięczna.

Edit

Chyba, że chodzi o to: \(\displaystyle{ x_{0}= \frac{2}{2}=1}\)

konrad509 · Post autor: **konrad509** » 18 gru 2012, o 17:52

A wiesz co znaczy w ogóle słowo "przyrównać" ??
EDIT:
Tak, to jeden z pierwiastków.

arcan · Post autor: **arcan** » 18 gru 2012, o 17:59

\(\displaystyle{ w(x)=5x^{2}-10 x^{3} +5x=5x(x-2 x^{2} +1)}\)
Przyrównanie do zera to nic innego jak zapisanie tej funkcji kwadratowej w następujący sposób:
\(\displaystyle{ (x-2 x^{2} +1)=0}\), teraz wystarczy to uporządkować (najpierw wyraz z największą potęgą, później z mniejszą i wyraz wolny i wychodzi: \(\displaystyle{ (-2x ^{2}+x+1 )=0}\).
\(\displaystyle{ \Delta =b ^{2} -4ac=1+8}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =(-1+3)/-4=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} =(-1-3)/-4=1}\)

Czyli pierwiastki tego wielomianu to -0.5 0 i 1.

miszczurek · Post autor: **miszczurek** » 18 gru 2012, o 18:10

A w sytuacji, kiedy przyrównałam do zera to:
\(\displaystyle{ w(x)=3x(-x^{4}+10x^{2}-25)}\)
i wyszło mi:
\(\displaystyle{ -4x^{4}+10x^{2}-25=0}\)
To mogę liczyć deltę? Bo coś mi w głowie świta, że można ją było liczyć tylko wtedy kiedy najpierw był kwadrat, potem sam "x", a potem wyraz wolny.
I jeżeli tutaj znów by wyszła 0, to nic więcej się chyba nie da zrobić?

arcan · Post autor: **arcan** » 18 gru 2012, o 18:14

Przy takich równaniach wyznaczasz sobie zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\). Zaznaczasz na początku zadania, że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\) i rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ -4t ^{2} +10t-25=0}\). Dalej liczysz wyróżnikiem kwadratowym (deltą) i odpowiedzi przyrównujesz do \(\displaystyle{ x ^{2}}\). Takie równanie może mieć nawet 4 pierwiastki.

(w tym przypadku delta jest mniejsza od zera, czyli równanie nie ma rozwiązań)

miszczurek · Post autor: **miszczurek** » 18 gru 2012, o 18:19

Ughh, wybacz, zrobiłam błąd w zapisach. Zamiast \(\displaystyle{ -4x^{2}}\) powinno być po prostu \(\displaystyle{ -x^{4}}\).

Wiem, wiem, trudny ze mnie przypadek, ale z matematyki jestem bardzo słaba.

arcan · Post autor: **arcan** » 18 gru 2012, o 18:24

Każdy jest dobry z matematyki, tylko musi się odblokować.
W tym przypadku delta=0, czyli:

\(\displaystyle{ t _{0} = \frac{-10}{-2}= 5}\)
\(\displaystyle{ t=5=x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ x= - \sqrt{5}}\)

miszczurek · Post autor: **miszczurek** » 18 gru 2012, o 18:30

O, widzę, że dobrze udało mi się w swoim zeszycie wyznaczyć "x". Super. Dzięki wielkie za pomoc, faktycznie, nie jest to aż takie trudne, jak by się mogło wydawać.
Pozdrawiam