równanie wielomianowe

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 18 gru 2012, o 01:22

Mam rozwiązać takie równanie wielomianowe \(\displaystyle{ x^3+3ax+2b=0}\) w zbiorze liczb rzeczywistych w którym \(\displaystyle{ a\ge 0,b \in \mathbb{R}}\), mogę korzystać jedynie z metod, które są w programie liceum i faktów, które są podane w licealnych podręcznikach rozszerzonych do matematyki.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 18 gru 2012, o 07:01

Znasz pojęcie funkcji odwrotnej ?
Miałeś trygonometrie ?
Wiesz jak podstawiać ?
Miałeś równania kwadratowe ?

Jeśli tak to możesz każde równanie tego stopnia w rzeczywistych rozwiązać
Jeśli nie to zostaje tw o wymiernych pierwiastkach ,
grupowanie wyrazów bądź wzory skróconego mnożenia

Pochodne wam wyrzucili więc nie wyeliminujesz pierwiastków wielokrotnych

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 18 gru 2012, o 12:30

W podręczniku jakiego używamy są pochodne funkcji elementarnych i mogę ich używać. Mamy rzeczy o których wspomniałeś, poza funkcjami odwrotnymi.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 18 gru 2012, o 13:14

Mamy równanie

\(\displaystyle{ x^{3}+3ax+2b=0}\)

Stosujemy podstawienie

\(\displaystyle{ x=u+v\\
\left( u+v\right)^3+3a\left( u+v\right)+2b=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+3a\left( u+v\right) +2b=0\\
u^3+v^3+2b+3\left( u+v\right)\left( uv+a\right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3+2b=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv+a\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3+2b=0 \\ \left( uv+a\right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-2b \\ uv=-a \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=-2b \\ u^3v^3=-a^3 \end{cases} \\}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete trójmianu kwadratowego którego pierwiastkami są
\(\displaystyle{ u^3}\) oraz \(\displaystyle{ v^3}\)

\(\displaystyle{ z^2+2bz-a^3=0}\)

Jeżeli wyróżnik otrzymanego równania jest ujemny to
wracamy do równania

\(\displaystyle{ x^{3}+3ax+2b=0}\)

i podstawiamy \(\displaystyle{ x=2\sqrt{-a}\cos{\theta}}\)
aby otrzymać wzór na funkcje trygonometryczne potrojonego kąta
Możesz sobie sprawdzić że wyróżnik wcześniej otrzymanego trójmianu jest ujemny gdy
\(\displaystyle{ a<0}\) więc pod pierwiastkiem jest liczba dodatnia
Bez znajomości pojęcia funkcji odwrotnej nie dasz rady policzyć kąta dla którego obliczysz wartość
funkcji trygonometrycznej
Zapewne dlatego dali taki warunek na \(\displaystyle{ a}\)

Sprawa by się uprościła też gdybyś miał wprowadzone liczby zespolone
(wtedy obie metody można by było zastosować do ogólnego równania)

Przy tak danym warunku na \(\displaystyle{ a}\) trójmian kwadrarowy który otrzymamy
będzie miał pierwiastki rzeczywiste i nie będzie potrzeby zabawy trygonometrią

theoldwest · Post autor: **theoldwest** » 18 gru 2012, o 15:56

Dzięki.