Znalezienie pozostałych pierwiastków wielomianu

[pascal]

Polecenie jest następujące:
Podana liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem danego wielomianu. Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
\(\displaystyle{ x^{4}+20x^{3}+96x^{2}-80x-400, -10}\)

I jeszcze jedno:
Liczby 2 i -3 są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}-11x+30}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

[grzegorz87]

co do drugiego, to skorzystaj z twierdzenia bezouta:
W(2)=0 i W(-3)=0
uzyskasz w ten sposób układ z dwiema niewiadomymi

[ariadna]

2)
Po pierwsze:
\(\displaystyle{ W(2)=0}\)
\(\displaystyle{ 8a+4b-22+30=0}\)
\(\displaystyle{ 2a+b=-2}\)
Po drugie:
\(\displaystyle{ W(-3)=0}\)
\(\displaystyle{ -27a+9b+33+30=0}\)
\(\displaystyle{ -3a+b=-7}\)

Wyliczysz tak sobie a i b a potem schemat Hornera.
Trzeci pierwiastek:5

[pascal]

A można inaczej niż za pomocą schematu Hornera? Bo tego w szkole nie miałem...

[grzegorz87]

Możesz podzielić zwyczajnie wielomian np. przez x-2, i w ten sposób znajdziesz 3 pierwiastek

[ariadna]

Tak, na piechotę.
Jak już będziesz znał wspólczynniki to przyrównaj swój wielomian do wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)(x+3)(x-a)}\), gdzie a to szukany pierwiastek.
Wymnóż i przyrównaj współcznynniki.

[pascal]

Dzięki, o coś takiego mi chodziło !

A to pierwsze wiecie jak zrobić?

[ariadna]

Podziel dwa razy przez x+10, skoro schematu nie znasz.
Jeszcze będzie pierwiastek 2 i -2.
Albo:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+20x^{3}+100x^{2}-4x^{2}-80x-400=\\=x^{2}(x^{2}+20x+100)-4(x^{2}+20x+100)=
(x^{2}-4)(x^{2}+20x+100)=\\
=(x-2)(x+2)(x+10)^{2}}\)