przedział pierwiastka rzeczywistego

[Elek112]

skąd wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ f(1)+f(-1) = 0}\) to jego pierwiastek znajduje się w \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

[Spektralny]

Nie wiadomo, dopóki nie założysz, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła (bądź przynajmniej ma własność Darboux).

[szw1710]

Inaczej np. niech \(\displaystyle{ f(x)=2}\) dla \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ f(-1)=-1}\), \(\displaystyle{ f(1)=1}\). Miejsca zerowego brak.

[Elek112]

uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ f(1)+f(-1)=0}\) to równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\) ma pierwiastek należący do odcinka \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Może w ten sposób

[szw1710]

Kolego, poczytaj nasze odpowiedzi. To sformułowanie niczego nowego nie wnosi. Narysuj wykres mojej funkcji. Spektralny mówi o czymś, co nazywa się Twierdzeniem Bolzano-Cauchy'ego. Ciągłość jest tu jednym z ważniejszych założeń, choć istnieją też funkcje nieciągłe z własnością Darboux.



W tym wykładzie twierdzenie to nazywa się po prostu twierdzeniem Darboux.

[Elek112]

\(\displaystyle{ f(x)= x^{10} + a_{1}x^{9} + ... + a_{9}x +1}\) to wystarczy?

[szw1710]

Teraz nie rozumiem o co Ci chodzi. Jeśli np. \(\displaystyle{ a_1=\dots=a_9=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)}\) nie spełnia żadnego z Twoich wcześniejszych postulatów. Nie powiem założeń, bo wyrażasz się nieprecyzyjnie. Proponuję zapisz dokładnie treść zadania domowego albo pytania z kółka, bowiem normalnie na lekcji ciągłości chyba się nie przerabia. Sprecyzuj problem, może coś poradzimy. W obecnym stanie nie da się więcej zrobić.

[Elek112]

\(\displaystyle{ f(x)= x^{10} + a_{1}x^{9} + ... + a_{9}x +1}\) w miejsce współczynników Zosia i Adam wstawiają jakieś liczby rzeczywiste. Zaczyna zosia, potem, adam i tak w kółko. Jeśli otrzymany wielomian ma pierwiastki rzeczywiste to wygrywa adam, jeśli nie, zosia.

Generalnie już mam ten moment ze jeśli chodzi o adama to musi doprowadzić o sytuacji gdzie 2 ostatnie potęgi do uzupełnienia współczyników zawierają potęgę nieparzystą albo obie są nieparzyste.

cała ta reszta nie liczących tych dwóch ostatnich to \(\displaystyle{ g(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x)=g(x) + Cx^{a}+Dx^{b}}\)

no i są te dwa przypadki wspomniane wyżej

dla pierwszego po kombinowaniu z podstawianiem wiadomej zmiennej wychodza nam równania

\(\displaystyle{ f(1)+f(-1)=g(1)+g(-1) + 2C}\)
\(\displaystyle{ 2^{b}f(-1) +f(2) = 2^{b}g(-1) + g(2) + (2^{a} + 2^{b})C}\)

i teraz jak sie ustali C w danym przypadku tak , żeby obydwa równania równały się 0 to pieriwastek tego wielomianu jest w przedziałach kolejno (-1,1) oraz (-1,2)

[szw1710]

A więc widzimy, że \(\displaystyle{ f(0)=1>0}\). Nasze kryterium zwycięstwa Adama sprowadza się do istnienia wartości ujemnej wielomianu \(\displaystyle{ f(x)}\), albowiem wielomian jest funkcją ciągłą i stosuje się do niego własność Darboux. A więc Adam wygrywa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ x_0\in\RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_0)<0}\).