wielomiany ostatnia walka.

[ModyBazyl]

Witam , ostatnie zadania przed poniedziałkowym sprawdzianem z którymi mam jeszcze problem , a chciałbym rozwiać me wątpliwości lub abyście sprawdzili niektóre zadania .

Pierwsze zadanie za które nie wiem jak się zabrać .

Wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)= \left( 3x ^{4}+5x ^{2} -4 \right) \left(x ^{3}-x ^{2} +1 \right)}\) ma przy \(\displaystyle{ x ^{2}}\) współczynnik równy ?

obliczając \(\displaystyle{ \Delta}\) przy \(\displaystyle{ \left( 3x ^{4}+5x ^{2} -4 \right)}\) wychodzi że ona wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{61}}\) a \(\displaystyle{ \Delta}\) przy \(\displaystyle{ \left(x ^{3}-x ^{2} +1 \right)}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) tak to ma wyglądać ? Czy inaczej to się liczy .

[Rogal]

A co ma do rzeczy tutaj wyróżnik? Popatrz na ten iloczyn i zadaj sobie pytanie - gdybym mnożył, to ile wynosiłby współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\)?

[lukasz1804]

Można zamienić postać wielomianu \(\displaystyle{ W}\) na sumę algebraiczną, albo wybrać tylko te jednomiany powstałe przy mnożeniu wyrażeń w nawiasach, które w iloczynie dadzą jednomian \(\displaystyle{ cx^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\). Łatwo widać, że te iloczyny to \(\displaystyle{ 5x^2\cdot 1, (-4)\cdot(-x^2)}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ 5x^2\cdot 1+(-4)\cdot(-x^2)=5x^2+4x^2=9x^2}\). Szukany współczynnik wynosi \(\displaystyle{ 9}\).

[ModyBazyl]

Można zamienić postać wielomianu \(\displaystyle{ W}\) na sumę algebraiczną, albo wybrać tylko te jednomiany powstałe przy mnożeniu wyrażeń w nawiasach, które w iloczynie dadzą jednomian \(\displaystyle{ cx^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c\in\RR}\). Łatwo widać, że te iloczyny to \(\displaystyle{ 5x^2\cdot 1, (-4)\cdot(-x^2)}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ 5x^2\cdot 1+(-4)\cdot(-x^2)=5x^2+4x^2=9x^2}\). Szukany współczynnik wynosi \(\displaystyle{ 9}\).

jeżeli treść zadania będzie taka sama a liczby różne , to zawsze można to tak wyliczyć ?

I kolejne zadanie na które także nie mam pomysłu na rozpoczęcie go :

Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x\right)=2x ^{3} +mx ^{2}-13x+n}\) wiedząc że pierwiastkami tego wielomianu są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). totalnie nie wiem jak się za to zabrać .

[Rogal]

To coś Ty na lekcjach robił?! Przecież chyba wiadomo, co to znaczy, że jakaś liczba jest pierwiastek wielomianu, czyż nie?

[lukasz1804]

jeżeli treść zadania będzie taka sama a liczby różne , to zawsze można to tak wyliczyć ?

Oczywiście. Nie trzeba wyznaczać całej sumy algebraicznej, ale wystarczy poszukać tych jednomianów w każdym z nawiasów, które w iloczynie dadzą jednomian żądanej postaci (tutaj \(\displaystyle{ cx^2}\)).

Wyznacz współczynnik \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) wielomianu \(\displaystyle{ W\left( x\right)=2x ^{3} +mx ^{2}-13x+n}\) wiedząc że pierwiastkami tego wielomianu są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

Skorzystaj z twierdzenia Bezouta - na jego podstawie otrzymasz równości \(\displaystyle{ W(2)=W(3)=0}\); utwórz teraz i rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi \(\displaystyle{ m,n}\),

[ModyBazyl]

znalazłem teraz przykład więc to ma wyglądać całość tak ? :
Obliczyłem raz jeszcze i wynik to
\(\displaystyle{ \begin{cases} m=-5\\ n=30 \end{cases}}\)

Jeżeli podstawię \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) pod to :

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \cdot 8 + m \cdot 4 -13 \cdot 2 +n =0\\ 2 \cdot 27 +m \cdot 9 -39 +n =0 \end{cases}}\) i po obu stronach gdy podstawię te \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) wyjdzie \(\displaystyle{ 0=0}\) to jest dobrze tak ?

-- 16 gru 2012, o 16:22 --

Okey tamto zadanie jest dobrze , na to macie jakąś myśl dla mnie jak się za to wziąć ? Jest jakiś sposób na to zadanie czy muszę podstawiac wszystko pokolei ?

Wyznacz liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) , tak aby wielomiany \(\displaystyle{ W(x)= ax ^{7} + bx ^{7} +5x ^{2}+1}\) i
\(\displaystyle{ P(x)= 3x ^{7}+ax ^{2}- bx ^{2} +1}\) były równe . I aby wiedzieć co postawić pod x muszę pokolei podstawiac liczby od 0 czy jest inny sposób ?

[Abby]

Jeśli można podepnę się pod temat.
Mnie również jutro sprawdzają z wielomianów, a mam jeszcze kilka niejasności. Generalnie znam metody i 90% przykładów mi wychodzi. Ale właśnie oto te pozostałe:

1. Jak rozłożyć ten wielomian na czynniki? (w sensie krok po kroku)
\(\displaystyle{ W \left( x\right) = 4x ^{4} - 3x ^{2} - 1}\)

2. Rozwiąż równania
a) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{5} - x \right) ^{3} \cdot \left( 4x + 7\right)\left( 3 - x ^{2} \right) = 0}\)
b) \(\displaystyle{ \left( x ^{3} - 5 \right) ^{2} - 36 = 0}\)
c) \(\displaystyle{ 15x ^{2} - 10x ^{4} - 6x +4 = 0}\)

Jak już pisałam, zasady znam, ale te przykłady za nic nie chcą mi wyjść, dlatego byłabym bardzo wdzięczna za konkretne rozpisanie zadań. ( z wytłumaczeniem to już nie marzę )

[ModyBazyl]

Abby 1 zadanie nawet ja już mogę ci wyjaśnić a więc tak :

\(\displaystyle{ W \left( x\right) = 4x ^{4} - 3x ^{2} - 1}\)
zakładamy że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

a więc : \(\displaystyle{ W \left( x\right) = t^{2} - 3t - 1}\)
i teraz obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\) tj : \(\displaystyle{ \Delta = b ^{2}-4ac}\) w tym przypadku\(\displaystyle{ a=4}\) \(\displaystyle{ b=-3}\) \(\displaystyle{ c=-1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3 ^{2} -4*4*-1}\)

potem obliczasz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) wzorami :
\(\displaystyle{ x1= \frac{-b-\Delta}{2a}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-b+\Delta}{2a}}\)

[konrad509]

2.
a) Jest postać iloczynowa, czyli przyrównujesz każdy czynnik do zera.
b) Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\). W Twoim przykładzie \(\displaystyle{ a=x^3-5}\) a \(\displaystyle{ b=36}\)

[Abby]

Abby 1 zadanie nawet ja już mogę ci wyjaśnić a więc tak :

\(\displaystyle{ W \left( x\right) = 4x ^{4} - 3x ^{2} - 1}\)
zakładamy że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

a więc : \(\displaystyle{ W \left( x\right) = t^{2} - 3t - 1}\)
i teraz obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\) tj : \(\displaystyle{ \Delta = b ^{2}-4ac}\) w tym przypadku\(\displaystyle{ a=4}\) \(\displaystyle{ b=-3}\) \(\displaystyle{ c=-1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3 ^{2} -4*4*-1}\)

potem obliczasz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) wzorami :
\(\displaystyle{ x1= \frac{-b-\Delta}{2a}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-b+\Delta}{2a}}\)

wykażę się totalnym niezrozumieniem
można tak na poziom 2 lo - podstawy?
nie ogarniam tego t ...pewnie czegoś bardzo oczywistego

2.
a) Jest postać iloczynowa, czyli przyrównujesz każdy czynnik do zera.
b) Skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\). W Twoim przykładzie \(\displaystyle{ a=x^3-5}\) a \(\displaystyle{ b=36}\)

no niby rozumiem, ale coś mi nie wychodzi
czy byłbyś tak uprzejmy i mógł rozpisać to krok po kroku?
z góry dziękuję

[ModyBazyl]

Abby 1 zadanie nawet ja już mogę ci wyjaśnić a więc tak :

\(\displaystyle{ W \left( x\right) = 4x ^{4} - 3x ^{2} - 1}\)
zakładamy że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

a więc : \(\displaystyle{ W \left( x\right) = t^{2} - 3t - 1}\)
i teraz obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\) tj : \(\displaystyle{ \Delta = b ^{2}-4ac}\) w tym przypadku\(\displaystyle{ a=4}\) \(\displaystyle{ b=-3}\) \(\displaystyle{ c=-1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3 ^{2} -4*4*-1}\)

potem obliczasz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) wzorami :
\(\displaystyle{ x1= \frac{-b-\Delta}{2a}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-b+\Delta}{2a}}\)

wykażę się totalnym niezrozumieniem
można tak na poziom 2 lo - podstawy?
nie ogarniam tego t ...pewnie czegoś bardzo oczywistego

praktycznie rozwiązałem Ci całe zadanie oblicz \(\displaystyle{ \Delta}\) potem podstaw liczby i oblicz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) jak to obliczysz napiszę ja wygląda końcówka zadania .

[Abby]

Abby 1 zadanie nawet ja już mogę ci wyjaśnić a więc tak :

\(\displaystyle{ W \left( x\right) = 4x ^{4} - 3x ^{2} - 1}\)
zakładamy że \(\displaystyle{ t=x ^{2}}\)

a więc : \(\displaystyle{ W \left( x\right) = t^{2} - 3t - 1}\)
i teraz obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\) tj : \(\displaystyle{ \Delta = b ^{2}-4ac}\) w tym przypadku\(\displaystyle{ a=4}\) \(\displaystyle{ b=-3}\) \(\displaystyle{ c=-1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=-3 ^{2} -4*4*-1}\)

potem obliczasz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) wzorami :
\(\displaystyle{ x1= \frac{-b-\Delta}{2a}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-b+\Delta}{2a}}\)

wykażę się totalnym niezrozumieniem
można tak na poziom 2 lo - podstawy?
nie ogarniam tego t ...pewnie czegoś bardzo oczywistego

praktycznie rozwiązałem Ci całe zadanie oblicz \(\displaystyle{ \Delta}\) potem podstaw liczby i oblicz \(\displaystyle{ x1}\) i \(\displaystyle{ x2}\) jak to obliczysz napiszę ja wygląda końcówka zadania .

delta jest równa 25
x1= 1
x2=1/4

jak się nie machnęłam
z tym, że ja TO rozumiem, nie rozumiem t...

[ModyBazyl]

mój błąd bo zapomniałem o pierwiastku w wzorach od \(\displaystyle{ \Delta}\)

więc ma być tak :
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =5}\) bo we wzorach potrzebujemy : \(\displaystyle{ x1= \frac{-b- \sqrt{\Delta} }{2a}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}}\)

a więc podstawiając :\(\displaystyle{ x1= \frac{-(-3)- 5 }{2*4}}\) i \(\displaystyle{ x2= \frac{-(-3)+ 5}{2*4}}\)

\(\displaystyle{ x1 = - \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ x2= 1}\)

i teraz obliczyłeś\(\displaystyle{ t}\) czyli \(\displaystyle{ x ^{2}}\) więc :

\(\displaystyle{ x ^{2} = - \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ x ^{2} =1}\)
\(\displaystyle{ x= - \frac{1}{2} } \cup x= \frac{1}{2} }}\) i \(\displaystyle{ x=1 \cup x=-1}\)

Ja bym to zrobił tak , jezeli coś jest źle lub nie potrzebne to jakiś kox matematyczny mógłby poprawić .