NWD Wielomianów

Kasik22 · Post autor: **Kasik22** » 15 gru 2012, o 19:14

Witam wszystkich próbuje rozwiązać następujące zadanie :
Wyznaczyć
\(\displaystyle{ NWD(f(x)=4+2x+9x^2+4x^3+x^4+3x^5, g(x)=7+2x+8x^2+x^3+7x^4+3x^5 )}\)
w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ \ZZ_{11}[x]}\)
Wybierz jedną odpowiedź:
a. \(\displaystyle{ 9+2x+4x^2+3x^3}\)

b. \(\displaystyle{ 9+2x+4x^2+4x^3}\)

c. \(\displaystyle{ 9+3x+4x^2+3x^3}\)

d. \(\displaystyle{ 9+4x+2x^2+3x^3}\)
Udało mi się dojść do następujących rozwiązań:
\(\displaystyle{ g(x)=(x-3)(x-4)(x-6)(3x^2+2x+8)}\) zaś
\(\displaystyle{ g(x)=(x-6)(3x^4+8x^3+8x^2+2x+3)}\) i nie wiem co mam teraz robić, proszę o pomoc,bo jest to dla mnie bardzo ważne

Rogal · Post autor: **Rogal** » 15 gru 2012, o 19:21

Możesz zawsze wziąć każdą z odpowiedzi i podzielić wielomiany f i g przez nią.

Kasik22 · Post autor: **Kasik22** » 15 gru 2012, o 19:38

i właśnie w tym u mnie tkwi błąd, ilekroć robię to z tej strony, to reszta nie chce mi wyjść w obu wielomianach równa \(\displaystyle{ 0}\) :/

Rogal · Post autor: **Rogal** » 15 gru 2012, o 20:01

Widać, żadna z podanych odpowiedzi nie jest prawidłowa lub popełniasz jakiś błąd przy dzieleniu, innej możliwości nie ma.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 gru 2012, o 04:30

Możesz ten NWD policzyć biorąc reszty z dzielenia
(algorytm Euklidesa z dzieleniem modulo)

Kasik22 · Post autor: **Kasik22** » 16 gru 2012, o 15:21

Tak, starałam się dojść tym sposobem, aczkolwiek wynik który mi wyszedł nie był uwzględniony w podanych odpowiedziach, natomiast zastanawia mnie jedna kwestia dotycząca tego sposobu w \(\displaystyle{ \mathbb{Z_11}}\),tzn nauczycielka nam powiedziała na zajęciach, że jak będziemy rozwiązywać te zadanie, to niekonieczne znajdziemy nasz wynik. Dodała do tego, że nie mamy się tym martwić, ponieważ należy pomnożyć przez liczby odwracalne (czy coś podobnego) nasz wynik -mówiła to w kontekście stowarzyszenia-lecz ja tego nie rozumiem, czy wy jesteście wstanie to wytłumaczyć?

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 gru 2012, o 15:51

Myślę, że nauczycielce chodziło o to, że robiąc choćby tak jak Ty, czyli używając minusów możesz otrzymać gdzieś na przykład \(\displaystyle{ -3x^{2}}\), a odpowiedziach będzie \(\displaystyle{ 8x^{2}}\).

Kasik22 · Post autor: **Kasik22** » 18 gru 2012, o 18:28

Tak, to co piszesz jest prawdą, aczkolwiek chodziło mi o co innego, lecz mogłam źle to ująć. Natomiast w książce "algebra" A.Białynicki-Birula znalazłam bardzo ważne informacje:
"Jeśli wielomian \(\displaystyle{ f}\) nie jest unormowany, to wyznaczenie ilorazu i reszty nie zawsze jest możliwe. Na przykład, w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x]}\) nie istnieją wielomiany \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) takie, że \(\displaystyle{ x=(2x)q+r, st(r)<1.}\) Można jednak zawsze pomnożyć wielomian \(\displaystyle{ g}\) przez taką potęgę \(\displaystyle{ f^{l}_{n}}\) najwyższego współczynnika \(\displaystyle{ f_{n}}\) wielomianu \(\displaystyle{ f}\), żeby dzielenie z resztą wielomianu \(\displaystyle{ f^{l}_{n}g}\) przez wielomian \(\displaystyle{ f}\) było wykonalne w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{P}[x]}\)""

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 gru 2012, o 18:34

Tak, ale Ty masz współczynniki z ciała, więc ta kwestia tutaj nie zajdzie.

Kasik22 · Post autor: **Kasik22** » 18 gru 2012, o 18:40

ale w myśl tego co tu na forum jest napisane, to wychodziłoby że żadna odpowiedź nie jest poprawna do tego zadania, a to nie jest możliwe, gdyż trudność tego zadania -tak mi się zdaje- polega na tym, że coś trzeba zrobić przed, bądź po zastosowaniu np algorytmu Euklidesa by dojść do poprawnego rozwiązania

-- 18 gru 2012, o 18:41 --

więc juz nie wiem co mam robić, by to rozwiązać poprawnie

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 gru 2012, o 21:28

Niestety, wedle wszelkich znaków na Niebie i Ziemi, czyli w tym przypadku według schematu Hornera zachodzą następujące rozkłady w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}[x]:}\)
\(\displaystyle{ f(x) = (x+7)(x+5)(3x^{3}+9x^{2}+2) \\ g(x) = (x+8)(3x^{4}+5x^{3}+5x^{2}+x+5) \\ NWD(f, g) = 1}\)
W sumie dobrze, że się ostatnio w szkole Hornera nauczyłem, bo to jednak potężny algorytm.