Rozwiąż równanie .

[ModyBazyl]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-2\right)}\) i co zrobic z tym -> \(\displaystyle{ \left( -7x ^{2} +8x +12 \right)}\)

[anna_]

Nie widzę znaku \(\displaystyle{ "="}\)

[konrad509]

Zacznijmy od tego, że to nie jest równanie.

[ModyBazyl]

wybaczcie zapomniałem dopisać że na końcu \(\displaystyle{ = 0}\) a więc :

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-2\right)}\) i co zrobic z tym -> \(\displaystyle{ \left( -7x ^{2} +8x +12 \right) = 0}\)

[konrad509]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2}+14x -6x +12 =0}\)

[ModyBazyl]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2}+14x -6x +12 =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-2\right) - 7x\left( x-2\right) -6\left( x+2\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)x\left(x ^{2}-7 \right) - 6(x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left(x ^{2}-7 \right)\left( x-6\right)=0}\)
hhmm czyli dobrze myślę jak to rozwiązać ?
1

[konrad509]

Druga linijka - ostatni nawias też \(\displaystyle{ (x-2)}\).

[ModyBazyl]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2}+14x -6x +12 =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-2\right) - 7x\left( x-2\right) -6\left( x-2\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)x\left(x ^{2}-7 \right) - 6(x-2)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x-2\right)\left(x ^{2}-7 \right)\left( x-6\right)=0}\)
tylko że wynik ma wyjść \(\displaystyle{ x=-2}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ x=2}\) lub \(\displaystyle{ x=3}\) a tu niewidzę aby coś było takiego ;/

[konrad509]

A co Ty za cuda porobiłeś.

Trzecia linijka tak powinna wyglądać: \(\displaystyle{ (x^3-7x-6)(x-2)=0}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0}\)

Tutaj łatwo sprowadzić wielomian do postaci różnicy kwadratów
(sposób działa na wszystkie równania czwartego stopnia ale często wymaga
rozwiązania równania trzeciego stopnia)

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0\\
\left( x^4-2x^3+x^2\right)-\left( 8x^2-8x-12\right)=0\\
\left( x^2-x\right)^2-\left( 8x^2-8x-12\right)=0\\
\left( x^2-x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left(y+8\right)x^2-\left(y+8\right)x+\frac{y^2}{4}-12\right)=0\\
y=-8\\
\left( x^2-x-4\right)^2-4=0\\
\left( x^2-x-6\right)\left( x^2-x-2\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-3\right)\left( x+1\right)\left( x-2\right)=0}\)

Tutaj łatwo zauważyć że po wstawieniu \(\displaystyle{ y=-8}\)
w drugim nawiasie zostanie tylko wyraz wolny a reszta się wyzeruje
(podobnie byłoby gdyby od razu widać było jaką wartość wstawić aby wyzerować
współczynnik przy x oraz wyraz wolny)
Jeżeli takiej wartości nie widać to zauważ że w drugim nawiasie jest trójmian kwadratowy
Trójmian kwadratowy jest kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik jest równy zero
Gdybyś liczył od razu wyróżnik tego trójmianu to mógłby on być różny od zera i
dlatego wprowadzasz nową zmienną

[ModyBazyl]

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0}\)

Tutaj łatwo sprowadzić wielomian do postaci różnicy kwadratów
(sposób działa na wszystkie równania czwartego stopnia ale często wymaga
rozwiązania równania trzeciego stopnia)

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0\\
\left( x^4-2x^3+x^2\right)-\left( 8x^2-8x-12\right)=0\\
\left( x^2-x\right)^2-\left( 8x^2-8x-12\right)=0\\
\left( x^2-x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left(y+8\right)x^2-\left(y+8\right)x+\frac{y^2}{4}-12\right)=0\\
y=-8\\
\left( x^2-x-4\right)^2-4=0\\
\left( x^2-x-6\right)\left( x^2-x-2\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-3\right)\left( x+1\right)\left( x-2\right)=0}\)

trochę skomplikowany sposób , mariuszm nie wiesz czy można było by zrobić to zadanie także sposobem konrad509 lub konrad509 pokażesz jak zrobić to zadanie używając twojego sposobu ?

[Mariusz M]

To co ty robiłeś wcześniej to grupowanie wyrazów konrad509 tylko zwrócił ci uwagę że źle zebrałeś
składniki drugiego czynnika
Sposób który ja pokazałem tylko wydaje ci się skomplikowany
działa dla każdego równania czwartego stopnia
w poprzedniej wiadomości dodałem krótki komentarz

Możesz poczytać o tym sposobie np tutaj

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

[ModyBazyl]

a więc tak :
\(\displaystyle{ (x^3-7x-6)(x-2)=0}\)
\(\displaystyle{ (x^3-7x-6)}\)
\(\displaystyle{ x ^{3} -x -6x -6}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2} -1)-6(x-1)}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(x-1)-6(x-1)}\)
\(\displaystyle{ (x+1)\left\langle x(x-1)-6\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(x ^{2} -x -6)}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x+1)(x+2)(x-3)=0}\)

-- 12 gru 2012, o 20:50 --

+ mam kolejne zadanie z którym nie wiem jak to ogarnąć

dochodzę do tego pkt:
\(\displaystyle{ x ^{4}-3x ^{3} +4x ^{2} -6x +4=0}\) to jest to zadanie
\(\displaystyle{ x ^{4}-3x ^{3} +4x ^{2} -4x -2x +4=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}(x-1)+4x(x-1)-2(x+2)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x ^{3}+4x-2)=0}\)
i teraz obliczyć :
\(\displaystyle{ (x ^{3}+4x-2)}\)
\(\displaystyle{ x ^{3}+2x +2x -2}\)
\(\displaystyle{ x(x ^{2}+2x)2(x-2)}\)

i ostateczny wynik to :

\(\displaystyle{ (x ^{3} +2x)2(x-2)(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x=2 lub x=1}\)
czy dobrze to zrobiłem ?

+ Kolejne zadanie gdzie mam problem z tym etapem \(\displaystyle{ (x+1)(x ^{4} -18x ^{2})=0}\) :
\(\displaystyle{ 2x ^{5} + 2x ^{4} -18x ^{3} -18x ^{2} =0}\)
\(\displaystyle{ x ^{4}(x+1)-18x ^{2} (x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(x ^{4} -18x ^{2})=0}\)

Coś dzisiaj słabo z mentorami xD

[Mariusz M]

Jak chcesz koniecznie grupować to możesz też w ten sposób

\(\displaystyle{ x ^{4} - 2x ^{3} -7x ^{2} +8x +12 =0\\
x ^{4} - 2x ^{3} -3x^{2}-4x ^{2} +8x +12 =0\\
x^{2}\left( x^{2}-2x-3\right)-4\left( x^{2}-2x-3\right)=0\\
\left( x^{2}-4\right)\left( x^{2}-2x-3\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x-3\right)=0}\)

Ja podobnie jak Chris F uważam że lepiej stosować metody dobrze znane
i zawsze prowadzące do celu