Pierwiastek wielokrotny wielomianu

[Hajtowy]

Wykaż, że liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), jeśli:

\(\displaystyle{ W(x)=x^5+3x^4+x^3-5x^2-6x-2, \ \ r=-1}\)

\(\displaystyle{ (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1}\)

\(\displaystyle{ (x^5+3x^4+x^3-5x^2-6x-2) : (x^3+3x^2+3x+1) = x^2-2}\)

Co należy dalej z tym zrobić?

Czy teraz \(\displaystyle{ W(x)}\) należy podzielić przez \(\displaystyle{ (x+1)^4}\) czy to jest już koniec zadania?

Proszę o odpowiedź, ewentualną pomoc

[pawellogrd]

Właściwie to już wykazałeś - wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ (x+1)^3}\) bez reszty, więc na mocy twierdzenia Bézouta liczba \(\displaystyle{ r=-1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem tego wielomianu.

[Hajtowy]

pawellogrd, czyli nie muszę \(\displaystyle{ W(x)}\) dzielić przez \(\displaystyle{ (x+1)^4}\) bo nie ma takiej potrzeby?

No ale :

"Liczba \(\displaystyle{ r}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ k-krotnym}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-r)^k}\) a nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-r)^{k+1}}\)

No więc.... ? -- 10 gru 2012, o 17:40 --Z dzielenia :

\(\displaystyle{ \frac{x^5+3x^4+x^3-5x^2-6x-2}{x^4+4x^3+6x^2+4x+1}=x-1}\)

A reszta : \(\displaystyle{ x^3-3x^2-3x-1}\)

[pawellogrd]

Przepraszam, źle przeczytałem. Oczywiście masz rację. Musisz sprawdzić czy wielomian nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)^4}\). Choć to możesz zrobić wykorzystując to, co już obliczyłeś. Skoro wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-1)^3}\) i w wyniku tego dzielenia daje \(\displaystyle{ x^2-2}\) to wystarczy, że sprawdzisz czy ten wielomian \(\displaystyle{ x^2-2}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ x-1}\) - da to taki sam efekt jak podzielenie \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)^4}\), a będzie mniej liczenia.

EDIT: Skoro z dzielenia wyszła Ci reszta to znaczy, że \(\displaystyle{ W(x)}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ (x-1)^4}\), a jest podzielne przez \(\displaystyle{ (x-1)^3}\), więc wykazałeś.

[Rogal]

A schemat Hornera jest zakazany czy coś?