Znaleźć wszystkie takie wielomiany

[Fiszer]

Znaleźć wszystkie wielomiany W(x) takie, że
\(\displaystyle{ \left( x+1\right) \cdot W\left( x+1\right)=\left( x+2\right) \cdot W\left( x\right)}\)


Mam rozwiązane zadanie tego typu, tylko nie rozumiem jednej rzeczy.

Znaleźć wszystkie wielomiany W(x) dla których zachodzi równość
\(\displaystyle{ \left( x-10\right) \cdot W\left( x\right) = x \cdot W\left( x-1\right).}\)
Rozwiązanie:
Podstawiając \(\displaystyle{ x=0,1,2,...,9}\) zauważamy, że wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x(x-1)(x-2)\cdot ... \cdot (x-9)}\)

Nie rozumiem skąd wywnioskować tą podzielność.

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ W(k) = 0}\) to dany wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x-k}\) (tw. Bezout)

[Fiszer]

No rozumiem, ale np. podstawię x=1

\(\displaystyle{ -9 \cdot W(1)=W(0)}\) i jak stąd wywnioskować tą podzielność?

[Vax]

Wstawiamy \(\displaystyle{ x=0,1,2,...,9}\) kolejno. Tj wstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) dostajesz \(\displaystyle{ W(0)=0}\), potem wstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) i korzystając z \(\displaystyle{ W(0)=0}\) dostajesz \(\displaystyle{ W(1)=0}\) itd..

[Fiszer]

No to w moim przypadku


\(\displaystyle{ (x+1) \cod W(x+1) = (x+2) \cdot W(x)}\)

x=-1
\(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
I jakie jeszcze?

[Vax]

\(\displaystyle{ (x+1)W(x+1) = (x+2)W(x)}\)

Wstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) dostajemy \(\displaystyle{ 0 = W(-1)}\), skąd \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)Q(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\), wstawiamy to do naszego wyjściowego równania:

\(\displaystyle{ (x+1)(x+2)Q(x+1) = (x+2)(x+1)Q(x) \iff Q(x+1)=Q(x)}\)

Skąd wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały, czyli wszystkie wielomiany spełniające tezę są postaci \(\displaystyle{ W(x) = c(x+1) \ , \ c \in \mathbb{R}}\)

[Fiszer]

Wielkie dzięki Vax!