Znaleźć wszystkie wielomiany W(x) takie, że \(\displaystyle{ \left( x+1\right) \cdot W\left( x+1\right)=\left( x+2\right) \cdot W\left( x\right)}\)
Mam rozwiązane zadanie tego typu, tylko nie rozumiem jednej rzeczy.
Znaleźć wszystkie wielomiany W(x) dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ \left( x-10\right) \cdot W\left( x\right) = x \cdot W\left( x-1\right).}\)
Rozwiązanie:
Podstawiając \(\displaystyle{ x=0,1,2,...,9}\) zauważamy, że wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ x(x-1)(x-2)\cdot ... \cdot (x-9)}\)
Wstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) dostajemy \(\displaystyle{ 0 = W(-1)}\), skąd \(\displaystyle{ W(x) = (x+1)Q(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\), wstawiamy to do naszego wyjściowego równania:
Skąd wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest stały, czyli wszystkie wielomiany spełniające tezę są postaci \(\displaystyle{ W(x) = c(x+1) \ , \ c \in \mathbb{R}}\)