Wykaż równość

[profesorq]

Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a\neq 0}\) i \(\displaystyle{ |b|+|a+c|=0}\), to równanie \(\displaystyle{ ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0}\),w którym x jest niewiadomą, ma co najmniej dwa pierwiastki

[Lorek]

Może taka podpowiedź na początek:
\(\displaystyle{ |b|+|a+c|=0\iff b=0\wedge a+c=0}\)

[profesorq]

dobre spostrzeżeni:D tylko co dalej hehe

[Lorek]

Bardzo dużo, bo stąd masz \(\displaystyle{ b=0 c=-a}\) i równanie
\(\displaystyle{ ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0}\)
jest równoważne
\(\displaystyle{ ax^3-ax^2-ax+a=0}\)

[profesorq]

no i teraz pewnbie trzeab wyznaczyc a i x przed nawias:)
jaki wyszedl wam wynik??

[Lorek]

Dla \(\displaystyle{ a\neq 0 : \;x\in\{-1;1\}}\)
dla \(\displaystyle{ a=0: \;x\in\mathbb{R}}\)

[profesorq]

czyli jak wykazać że równanie ma conajmniej dwa pierwiastki??

[Lorek]

A co nie widać, że są 2? Raz są 3 (jeden podwójny) a raz nieskończenie wiele, czyli zawsze co najmniej 2

[Tristan]

A ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ ax^3 + (b-a)x^2 +(c-b)x -c=0 \\ ax^3 +bx^2 +cx-ax^2 -bx-c=0 \\ x(ax^2 +bx+c)-(ax^2 +bx+c)=0 \\ (ax^2 +bx+c)(x-1)=0 \\ x=1 ax^2 +bx+c=0}\)
Należy wieć wykazać, że w przypadku tego równania kwadratowego zachodzi \(\displaystyle{ \Delta q 0}\). Z założenia mamy, że \(\displaystyle{ |b|=-|a+c|}\), czyli \(\displaystyle{ b^2=(a+c)^2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta=b^2 -4ac=(a+c)^2 - 4ac= a^2 +2ac+c^2 -4ac= a^2 -2ac+c^2=(a-c)^2 q 0}\), więc rzeczywiście początkowe równanie ma co najmniej 2 pierwiastki.