Wielomiany o współczynnikach nieparzystych

[theoldwest]

Dane są rzeczywiste wielomiany \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} a_ix^i}\) o współczynnikach \(\displaystyle{ a_0,...,a_n}\) nieparzystych. Wyznaczyć wszystkie liczby \(\displaystyle{ n>2}\) aby każdy taki wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\), nie miał ani jednego pierwiastka wymiernego.

[Vax]

Jeżeli \(\displaystyle{ 2 \nmid n}\) to dla \(\displaystyle{ a_i = 1}\) mamy \(\displaystyle{ W(-1) = 0}\), czyli teza nie zachodzi. Pokażemy, że teza działa dla wszystkich \(\displaystyle{ 2 \mid n}\). Istotnie, załóżmy nie wprost, że istnieje pierwiastek wymierny danego wielomianu \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z} \ , \ (p,q)=1}\), oraz \(\displaystyle{ p,q}\) są nieparzyste (gdyż \(\displaystyle{ a_0 \ , \ a_n}\) są nieparzyste, więc z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu \(\displaystyle{ p,q}\) też są nieparzyste). Mamy więc \(\displaystyle{ W(\frac{p}{q})=0 /\cdot q^n \iff a_n\cdot p^n + a_{n-1}p^{n-1}\cdot q + ... + a_1\cdot p\cdot q^{n-1} + a_0\cdot q^n = 0}\), sprzeczność, gdyż jest to suma nieparzystej (\(\displaystyle{ n+1}\)) ilości liczb nieparzystych, co będzie nieparzyste.