wielomian 3-go stopnia

[theoldwest]

Rozważmy wielomiany o współczynnikach \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}}\) postaci \(\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c=0}\), mające \(\displaystyle{ 3}\) różne pierwiastki rzeczywiste.

Znaleźć minimum i maksimum funkcji danej wzorem \(\displaystyle{ f(a,b)=a^2-3b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) występują w powyższym wielomianie

[octahedron]

\(\displaystyle{ y=x^3+ax^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\\\\
a=-(x_1+x_2+x_3)\\\\
b=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\\\\
f(a,b)=a^2-3b=x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3=\\\\
=\frac{1}{2}(x_1-x_2)^2+\frac{1}{2}(x_1-x_3)^2+\frac{1}{2}(x_2-x_3)^2\\\\
f_{min}=0\\\\
f_{max}=\infty}\)

[theoldwest]

Dzięki!

[Ponewor]

Czy to: \(\displaystyle{ f_{max}=\infty}\) jest formalny zapis? A nie jest tak, że w takim razie funkcja nie ma wartości maksymalnej?

[theoldwest]

octahedron, trochę się pospieszyłem i mam pytanie w związku z tym - skoro pierwiastki są różne (parami), to na pewno minimum funkcji będzie zero?

[Ponewor]

Rzeczywiście, skoro są różne to wartością minimalną nie będzie zero. I wydaje mi się, że tu jest tak jak z maksymalną - nie ma jej po prostu. Zawsze możemy znaleźć mniejszą/większą. \(\displaystyle{ f_{min}\left(x \right) >0}\)

[theoldwest]

No tak, bo odległości między różnymi pierwiastkami mogą być dowolne (niezerowe). Dzięki wam!

[octahedron]

Faktycznie, przeoczyłem, że pierwiastki mają być różne.