wyznaczyć funkcję

[husku]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\), jeżeli:

\(\displaystyle{ x^2 \cdot f \left( x+\frac{1}{x} \right) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\).

Proszę o wskazówki, jak mam zabrać się do takiego zadania.

[cosinus90]

Podziel przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) i spróbuj wyrugować argument \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\)

[kamil13151]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f \left( x+\frac{1}{x} \right) = x^2 + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}= \left( x+\frac{1}{x} \right)^2 -2+ \left( x+\frac{1}{x} \right) +1= \\ \\ \left( x+\frac{1}{x} \right)^2 + \left( x+\frac{1}{x} \right) -1}\)

[husku]

Czyli:
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2} + x -1}\)

Dobrze myślę?

Mam jeszcze wyznaczyć dziedzinę, dla \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nią zbiór liczb rzeczywistych?

[kamil13151]

Tak.

[husku]

Dzięki za pomoc.

[Vax]

Rozwiązanie \(\displaystyle{ f(x) = x^2+x-1}\) nie jest do końca poprawne. Jest tak, ponieważ \(\displaystyle{ |x+\frac{1}{x}| \ge 2}\), więc z założeń zadania dostajemy jedynie, że \(\displaystyle{ f(x) = x^2+x-1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) takich, że \(\displaystyle{ |x| \ge 2}\), dla \(\displaystyle{ |x| < 2}\) funkcja może przyjmować dowolne wartości (albo nie być określona), inaczej mówiąc jest nieskończenie wiele takich funkcji, wszystkie z nich są powiązane warunkiem \(\displaystyle{ f(x) = x^2+x-1}\) dla \(\displaystyle{ |x| \ge 2}\).