Nierówność wielomianowa z wartością bezwzględną

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 3 gru 2012, o 22:01

\(\displaystyle{ \left| x+1\right|^ 3-49 \left| x+1\right| \le 0}\)

Zrobilem 1 przykład, gdzie \(\displaystyle{ x \le 0}\) wyszedł mi przedział \(\displaystyle{ ( \infty ; -8 \rangle \cup \left\langle -1;6\right\rangle}\)

Liczę na Was koledzy ! To ważne !

mati861 · Post autor: **mati861** » 3 gru 2012, o 22:11

Dla x=-1 zachodzi.
dla \(\displaystyle{ x \neq -1}\) dzielimy obustronnie przez\(\displaystyle{ \left| x+1\right|}\) co możemy zrobić bez zmiany kierunku nierówności gdyż to co w module to dodatnie. pozostaje\(\displaystyle{ \left| x+1\right|^{2}-49 \le 0}\) ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (\left| x+1\right|-7)(\left| x+1\right|+7) \ge 0}\)

Dokończyć spróbuj sam. Jakby co pytaj to dopisze.

Ps. przy \(\displaystyle{ \left| x+1\right|^{2}-49 \le 0}\) możesz też zignorować moduł i rozwiązać nierówność kwadratową \(\displaystyle{ x^{2}+2x-48 \le 0}\)

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 3 gru 2012, o 22:17

Hmm ok dzięki, a nie da się tego zrobić tak jak zrobiłem to w 1 przypadku?
Tam wszystko ładnie sie rozwiązało
pozbyłem się wart.bezwzglednej i miałem wielomian, którym podzieliłem przez \(\displaystyle{ (x+1)}\), a z wyniku obliczyłem deltę i w sumie mialem 3 pierwiastki : \(\displaystyle{ -8,-1}\) i \(\displaystyle{ 6}\).
Moje pytanie brzmi: w 2 przypadku \(\displaystyle{ (x \ge 0)}\) da się to zrobić podobnie? Bo Ty Kolego opisałeś mi to w sposób taki bardziej rozszerzony, a ja z matmy geniuszem nie jestem.

mati861 · Post autor: **mati861** » 3 gru 2012, o 22:25

Mam wrażenie że to co opisałem jest prostsze bo od razu sprowadzasz to do funkcji kwadratowej (jedna załatwia wszystkie przypadki tak jak opisałem w post scriptum.) To co zrobiłeś to rozbicie tej metody na dwa przypadki (tak w ogóle to chodziło ci chyba o \(\displaystyle{ x+1>0}\) i \(\displaystyle{ x+1<0}\)), a wracając do twojego pytania: tak da się, dla \(\displaystyle{ x+1<1}\) podstawiasz tam gdzie są wartości bezwzględne \(\displaystyle{ -(x+1)}\) i dalej idzie tak jak w pierwszym przypadku.

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 3 gru 2012, o 22:49

Czyli w 1. jak i 2. przypadku pierwiastki będą te same? \(\displaystyle{ (-8,-1,6)}\) ?

mati861 · Post autor: **mati861** » 3 gru 2012, o 23:46

Ostateczny wynik to \(\displaystyle{ [-8,6]}\)

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 4 gru 2012, o 13:52

Ok, chyba rozumiem, lecz mam jeszcze jedną prośbę.. Mógłbyś mi kolego zrobić ten 2. przykład metodą 'krok po kroku' dla niezbyt inteligentnego ucznia?
Napiszę Ci krok po kroku jak zrobiłem 1. przykład, gdzie to wyrażenie jest mniejsze lub równe \(\displaystyle{ 0}\).

\(\displaystyle{ |x+1|^3-49|x+1| \le 0}\)

1 przypadek:
\(\displaystyle{ \left( x+1 \right) ^3-49 \left( x+1 \right) \le 0 \\
x^3+3x^2+3x+1-49x-49 \le 0 \\
x^3+3x^2-46x-48 \le 0}\)
znalazłem pierwiastek \(\displaystyle{ \left( -1 \right)}\) więc:
\(\displaystyle{ \left( x^3+3x^2-46x-48 \right) : \left( x+1 \right)=}\) wynik to \(\displaystyle{ x^2+2x-48}\)
z delty wyniku wyszły mi pierwiastki: \(\displaystyle{ -8,6}\)
Zaznaczyłem to na osi, przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -\infty;-8 \rangle \cup \langle -1;-6 \rangle}\)
Chciałbym, aby ktoś zrobił 2 przykład właśnie tak - krok po kroku.
Przepraszam z góry, że nie używam latexa, nadrobię to.

Post autor: **loitzl9006** » 4 gru 2012, o 16:07

Zaznaczyłem to na osi, przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -\infty;-8 \rangle \cup \langle -1;-6 \rangle}\)

OK, ale rozwiązaniem będzie tylko \(\displaystyle{ \langle -1;6 \rangle}\) (bo pierwszy przypadek jest dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\)).

\(\displaystyle{ x<1}\) drugi przypadek

\(\displaystyle{ \left( -x-1\right)^3-49\left( -x-1\right) \le 0 \\ \\ -x^3-3x^2-3x-1+49x+49 \le 0 \\ \\ -x^3-3x^2+46x+48 \le 0}\)

\(\displaystyle{ (-1)}\) jest pierwiastkiem

\(\displaystyle{ \left( -x^3-3x^2+46x+48\right):(x+1)=-x^2-2x+48}\)
Pierwiastki to \(\displaystyle{ -8, \ 6}\)

Rozwiązanie to \(\displaystyle{ \left\langle -8;-1\right\rangle \cup \langle 6;+\infty )}\) ale rozwiązywaliśmy dla \(\displaystyle{ x<1}\) więc zostaje tylko \(\displaystyle{ \left\langle -8;-1)}\).

Łącząc pierwszy przypadek z drugim (suma) dostaniesz \(\displaystyle{ x \in \left\langle -8;6\right\rangle}\) - takie jest rozwiązanie nierówności.

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 4 gru 2012, o 16:18

Ok, ostatnia prośba, bo łapie już, jak to jest zrobione.
Pytanie: Dlaczego w tych przypadkach jest \(\displaystyle{ x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ x<1}\) ? Nie ma być czasem \(\displaystyle{ x \ge -1}\) i \(\displaystyle{ x<-1}\) ?
Prosiłbym o jak najbardziej proste wytłumaczenie.
I ogólnie dziękuje za pomoc.

Post autor: **loitzl9006** » 4 gru 2012, o 20:37

Pytanie: Dlaczego w tych przypadkach jest \(\displaystyle{ x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ x<1}\) ?

No właśnie - dobre pytanie. Pomyliłem się - oczywiście Twoja wersja jest poprawna

Ogólna zasada przy opuszczaniu wartości bezwzględnych:
- zmieniamy znak, gdy to co między kreskami jest ujemne (czyli w Twoim przykładzie tak jest dla \(\displaystyle{ x<-1}\)),
- nie zmieniamy znaku, gdy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest nieujemne (większe bądź równe zero, czyli dla \(\displaystyle{ x \ge -1}\)).

Karol1928 · Post autor: **Karol1928** » 4 gru 2012, o 22:25

Jeszcze raz dziękuje Wam za pomoc. Już jest wszystko cacy.