Wielomian stopnia trzeciego \(\displaystyle{ f(x)}\), mający następujące pierwiastki: -6, -5, -3, spełnia warunek f(0)=90. Wielomian \(\displaystyle{ g(x)}\) opisany jest wzorem \(\displaystyle{ g(x) = x^{3}-14 x^{2} +63x-90}\). Wykaz, ze: \(\displaystyle{ -g(x) = f(-x)}\) .
Mając miejsca zerowe, mogę wyprowadzić wzór funkcji w postaci iloczynowej:
\(\displaystyle{ y = a(x+6)(x+5)(x+3)}\)
Obliczam następnie współczynnik a, znając punkt należący do wykresu funkcji: P=(0,90).
\(\displaystyle{ 90 = a*6*5*3 || a = 1}\)
Przeto wzór wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y = (x+6)(x+5)(x+3) = f(x)}\)
----
Następnie sprowadzam wzór w postaci iloczynowej do postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ y = x ^{3}+6x ^{2} +15x+90}\)
Jak można dalej zrobić to zadanie?
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
Postać ogólna wielomianu \(\displaystyle{ f}\) jest źle wyznaczona. Gdzieś musiałeś się pomylić.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
Racja:
\(\displaystyle{ y=(x+6)(x+5)(x+3) \Leftrightarrow (x ^{2} +5x+6x+30)(x+3) = x ^{3} +3x ^{2}+5x ^{2}+15x+6x ^{2} +18x+90 = x ^{3} +14x ^{2} +63x+90}\)
Zatem -g(x) oznacza, że mam zanegować argumenty funkcji (bo -y=wyrażenie, zatem y=-wyrażenie), podobnie jak f(-x) - tak?
Funkcje mimo wszystko nie będą sobie równe...
\(\displaystyle{ y=(x+6)(x+5)(x+3) \Leftrightarrow (x ^{2} +5x+6x+30)(x+3) = x ^{3} +3x ^{2}+5x ^{2}+15x+6x ^{2} +18x+90 = x ^{3} +14x ^{2} +63x+90}\)
Zatem -g(x) oznacza, że mam zanegować argumenty funkcji (bo -y=wyrażenie, zatem y=-wyrażenie), podobnie jak f(-x) - tak?
Funkcje mimo wszystko nie będą sobie równe...
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
Będą.
Zacznij od zapisania: \(\displaystyle{ f\left( -x\right)= \left( -x\right) ^{3} +14\left( -x\right) ^{2} +63\left( -x\right) +90=...}\)
Później wyłącz minus przed nawias i zauważysz, że jest to równe \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\)
Po za tym, nie możesz mówić, że \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\) to zanegowanie argumentów, jeśli już to zanegowanie wartości funkcji. Natomiast \(\displaystyle{ f\left( -x\right)}\) to zanegowanie argumentów.
Zacznij od zapisania: \(\displaystyle{ f\left( -x\right)= \left( -x\right) ^{3} +14\left( -x\right) ^{2} +63\left( -x\right) +90=...}\)
Później wyłącz minus przed nawias i zauważysz, że jest to równe \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\)
Po za tym, nie możesz mówić, że \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\) to zanegowanie argumentów, jeśli już to zanegowanie wartości funkcji. Natomiast \(\displaystyle{ f\left( -x\right)}\) to zanegowanie argumentów.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
Rozumiem.
Czyli jak mam przykładową funkcję kwadratową:
\(\displaystyle{ y = -5x ^{2} + 4x + 12}\)
to:
1). \(\displaystyle{ f(-x) = -5*(-x) ^{2} + 4*(-x) + 12 = -5x - 4x+12}\)
2). \(\displaystyle{ -f(x) =-y = -5x ^{2} + 4x + 12}\), więc \(\displaystyle{ y = 5x ^{2} -4x-12}\)
Czyli jak mam przykładową funkcję kwadratową:
\(\displaystyle{ y = -5x ^{2} + 4x + 12}\)
to:
1). \(\displaystyle{ f(-x) = -5*(-x) ^{2} + 4*(-x) + 12 = -5x - 4x+12}\)
2). \(\displaystyle{ -f(x) =-y = -5x ^{2} + 4x + 12}\), więc \(\displaystyle{ y = 5x ^{2} -4x-12}\)
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.
Widzę, że rozumiesz, tylko drobne modyfikacje co do zapisu.
\(\displaystyle{ f(-x) = -5 \cdot (-x) ^{2} + 4 \cdot (-x) + 12 = -5x \red ^2 \black - 4x +12}\)
Co do drugiego, nie możesz mylić oznaczeń pierwotnej funkcji z funkcją przekształconą, powinno być tak:
\(\displaystyle{ \red f(x) \black = \red y \black = -5x ^{2} + 4x + 12}\),
więc
\(\displaystyle{ \red -f\left( x\right) \black = \red -y \black = 5x ^{2} -4x-12}\)
Początkowo masz \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), a nie \(\displaystyle{ -f\left( x\right)}\)
\(\displaystyle{ f(-x) = -5 \cdot (-x) ^{2} + 4 \cdot (-x) + 12 = -5x \red ^2 \black - 4x +12}\)
Co do drugiego, nie możesz mylić oznaczeń pierwotnej funkcji z funkcją przekształconą, powinno być tak:
\(\displaystyle{ \red f(x) \black = \red y \black = -5x ^{2} + 4x + 12}\),
więc
\(\displaystyle{ \red -f\left( x\right) \black = \red -y \black = 5x ^{2} -4x-12}\)
Początkowo masz \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), a nie \(\displaystyle{ -f\left( x\right)}\)