Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
piotrek6984
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: piotrek6984 »

Wielomian stopnia trzeciego \(\displaystyle{ f(x)}\), mający następujące pierwiastki: -6, -5, -3, spełnia warunek f(0)=90. Wielomian \(\displaystyle{ g(x)}\) opisany jest wzorem \(\displaystyle{ g(x) = x^{3}-14 x^{2} +63x-90}\). Wykaz, ze: \(\displaystyle{ -g(x) = f(-x)}\) .

Mając miejsca zerowe, mogę wyprowadzić wzór funkcji w postaci iloczynowej:

\(\displaystyle{ y = a(x+6)(x+5)(x+3)}\)

Obliczam następnie współczynnik a, znając punkt należący do wykresu funkcji: P=(0,90).
\(\displaystyle{ 90 = a*6*5*3 || a = 1}\)
Przeto wzór wygląda następująco:

\(\displaystyle{ y = (x+6)(x+5)(x+3) = f(x)}\)

----
Następnie sprowadzam wzór w postaci iloczynowej do postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ y = x ^{3}+6x ^{2} +15x+90}\)

Jak można dalej zrobić to zadanie?
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: mmoonniiaa »

Postać ogólna wielomianu \(\displaystyle{ f}\) jest źle wyznaczona. Gdzieś musiałeś się pomylić.
piotrek6984
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: piotrek6984 »

Racja:

\(\displaystyle{ y=(x+6)(x+5)(x+3) \Leftrightarrow (x ^{2} +5x+6x+30)(x+3) = x ^{3} +3x ^{2}+5x ^{2}+15x+6x ^{2} +18x+90 = x ^{3} +14x ^{2} +63x+90}\)

Zatem -g(x) oznacza, że mam zanegować argumenty funkcji (bo -y=wyrażenie, zatem y=-wyrażenie), podobnie jak f(-x) - tak?
Funkcje mimo wszystko nie będą sobie równe...
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: mmoonniiaa »

Będą.
Zacznij od zapisania: \(\displaystyle{ f\left( -x\right)= \left( -x\right) ^{3} +14\left( -x\right) ^{2} +63\left( -x\right) +90=...}\)
Później wyłącz minus przed nawias i zauważysz, że jest to równe \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\)

Po za tym, nie możesz mówić, że \(\displaystyle{ -g\left( x\right)}\) to zanegowanie argumentów, jeśli już to zanegowanie wartości funkcji. Natomiast \(\displaystyle{ f\left( -x\right)}\) to zanegowanie argumentów.
piotrek6984
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 lis 2012, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 14 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: piotrek6984 »

Rozumiem.
Czyli jak mam przykładową funkcję kwadratową:

\(\displaystyle{ y = -5x ^{2} + 4x + 12}\)

to:

1). \(\displaystyle{ f(-x) = -5*(-x) ^{2} + 4*(-x) + 12 = -5x - 4x+12}\)
2). \(\displaystyle{ -f(x) =-y = -5x ^{2} + 4x + 12}\), więc \(\displaystyle{ y = 5x ^{2} -4x-12}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Wykaż, że dane funkcje są sobie równe.

Post autor: mmoonniiaa »

Widzę, że rozumiesz, tylko drobne modyfikacje co do zapisu.
\(\displaystyle{ f(-x) = -5 \cdot (-x) ^{2} + 4 \cdot (-x) + 12 = -5x \red ^2 \black - 4x +12}\)

Co do drugiego, nie możesz mylić oznaczeń pierwotnej funkcji z funkcją przekształconą, powinno być tak:
\(\displaystyle{ \red f(x) \black = \red y \black = -5x ^{2} + 4x + 12}\),
więc
\(\displaystyle{ \red -f\left( x\right) \black = \red -y \black = 5x ^{2} -4x-12}\)

Początkowo masz \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), a nie \(\displaystyle{ -f\left( x\right)}\)
ODPOWIEDZ