Rozłożyć na czynniki i rozwiązać równanie

[Gouranga]

z wzoru na deltę
\(\displaystyle{ \left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( y+\frac{57}{4}\right)x^2+\left( \frac{y}{2}-26 \right)x+\frac{y^2}{4}+20 \right)=0\\
\\
a = y + \frac{57}{4}\\
b = \frac{y}{2} - 26\\
c = \frac{y^2}{4} + 20\\
\Delta=0\\
4ca - b^2 = 0\\
4 \cdot \left(\frac{y^2}{4} + 20\right) \cdot \left(y + \frac{57}{4}\right) - \left(\frac{y}{2} - 26\right)^2 = 0\\
\left( y^2+80\right)\left( y+\frac{57}{4}\right)-\left( \frac{y}{2}-26 \right)^2=0}\)

i masz kolejną zaletę stosowania \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\) jako dodatkowej zmiennej, czwórka skraca się z tą z wzoru

[matematyk1995]

Faktycznie, delta

[Mariusz M]

Faktycznie, delta

Jak się wczytasz w jedną z moich wcześniejszych odpowiedzi to dojdziesz do tego
że ja też o tym pisałem

Dochodzimy do równania trzeciego stopnia
Od biedy można rozwiązać je analogicznie
ja jednak stosuje podstawienia

\(\displaystyle{ a_{3}y^{3}+a_{2}y^{2}+a_{1}y+a_{0}=0\\
y=z-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
z=u+v\\}\)

Powstałe po tym podstawieniu równanie zapisuję jako układ równań
który można przekształcić we wzory Viete dla trójmianu kwadratowego

Po znalezieniu \(\displaystyle{ u_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{1}}\)
patrzę na pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki
\(\displaystyle{ 1\qquad e^{\frac{2i\pi}{3}}\qquad e^{\frac{4i\pi}{3}}}\)

Z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki wybieram dwa
tak aby po pomnożeniu dawały jedynkę
(Jedno z równań jest iloczynem uv, równanie to podnieśliśmy stronami do trzeciej potęgi
tylko po to aby otrzymać wzory Viete dla trójmianu kwadratowego)
(Tylko trzy spośród dziewięciu wariacji z powtórzeniami będzie pasować)
Po wybraniu trzech pasujących par pierwiastków mnożę wybrane pierwiastki z jedynki
przez wcześniej znalezione \(\displaystyle{ u}\) oraz \(\displaystyle{ v}\) aby otrzymać wszystkie trzy
pary \(\displaystyle{ \left( u,v\right)}\)

Tutaj masz przykład

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x^3+12x^2+44x+48=0\\
x=y-4\\
\left(y-4 \right)^3+12\left( y-4\right)^2+44\left( y-4\right)+48\\
y^3-12y^2+48y-64+12y^2-96y+192+44y-176+48\\
y^3-4y=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-4\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{4}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ uv= \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ u^3v^3= \frac{64}{27} \end{cases} \\}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete równania kwadratowego

\(\displaystyle{ t^2+ \frac{64}{27}=0\\
\left( t+ \frac{8 \sqrt{3} }{9}i \right)\left( t- \frac{8 \sqrt{3} }{9}i \right)=0\\
t_{1}=\frac{8 \sqrt{3} }{9}i\\
t_{2}=-\frac{8 \sqrt{3} }{9}i\\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
u_{1}v_{1}= 1+ \frac{1}{3}= \frac{4}{3} \\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{2}=\exp{\left( \frac{2\pi \cdot i}{3} \right) }u_{1} \\ v_{2}=\exp{\left( \frac{4\pi \cdot i}{3} \right) }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}=\exp{\left( \frac{4\pi \cdot i}{3} \right) }u_{1} \\ v_{3}=\exp{\left( \frac{2\pi \cdot i}{3} \right) }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{2}=-1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{2}=-1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}= -\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{3}= \frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} y_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i +1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ y_{2}=-1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i+-1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i\\y_{3}=-\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i+\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases} \\
\begin{cases} y_{1}=2 \\ y_{2}=-2\\y_{3}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} x_{1}=-2 \\ x_{2}=-6\\x_{3}=-4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x^3+12x^2+44x+48=0\\
x=y-4\\
\left(y-4 \right)^3+12\left( y-4\right)^2+44\left( y-4\right)+48\\
y^3-12y^2+48y-64+12y^2-96y+192+44y-176+48\\
y^3-4y=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right)^3-4\left( u+v\right)=0\\
u^3+v^3+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{4}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ uv= \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=0 \\ u^3v^3= \frac{64}{27} \end{cases} \\}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete równania kwadratowego

\(\displaystyle{ t^2+ \frac{64}{27}=0\\
\left( t+ \frac{8 \sqrt{3} }{9}i \right)\left( t- \frac{8 \sqrt{3} }{9}i \right)=0\\
t_{1}=\frac{8 \sqrt{3} }{9}i\\
t_{2}=-\frac{8 \sqrt{3} }{9}i\\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
u_{1}v_{1}= 1+ \frac{1}{3}= \frac{4}{3} \\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{2}=\exp{\left( \frac{2\pi \cdot i}{3} \right) }u_{1} \\ v_{2}=\exp{\left( \frac{4\pi \cdot i}{3} \right) }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}=\exp{\left( \frac{4\pi \cdot i}{3} \right) }u_{1} \\ v_{3}=\exp{\left( \frac{2\pi \cdot i}{3} \right) }v_{1} \end{cases}\\
\begin{cases} u_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{1}=1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{2}=-1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{2}=-1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} u_{3}= -\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ v_{3}= \frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases}\\
\begin{cases} y_{1}=1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i +1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i \\ y_{2}=-1+ \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i+-1- \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot i\\y_{3}=-\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i+\frac{2}{ \sqrt{3} } \cdot i \end{cases} \\
\begin{cases} y_{1}=2 \\ y_{2}=-2\\y_{3}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} x_{1}=-2 \\ x_{2}=-6\\x_{3}=-4 \end{cases}}\)

[Gouranga]

mariuszm, bardzo fajna metoda, muszę przeliczyć kilkanaście zadań na nią żeby weszła w krew