wielomiany- pewne pytania

[tukanik]

Witam,
Mam parę pytań odnośnie zadań z wielomianów:
1. Suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} +x+c}\)jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Znajdź współczynniki \(\displaystyle{ a i c}\)wiedząc, że\(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)=x}\)
Pierwsza moja myśl- c musi być równe zero. Tak też rozwiązałem i było ok. Jednak potem dopadła mnie myśl- dlaczego niby mogę być pewny, że c jest równe zeru? Przecież c, może być równie dobrze równe wielokrotności x. Np. c może być równe 20 i dla jakiegoś tam x ( np. dla x = 5) jest podzielne. Wiem, że to taka wyszukana liczba, ale trochę mnie to dręczy. Niby przy współczynniku nie ma x ( cx), ale to chyba nie oznacza tym samym, że c nie może być wielokrotnością x?

2. Uzasadnij, że równanie\(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=2009 ^{3}}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązywałem to tak, że wszystkie sprawdzałem dla każdego dzielnika \(\displaystyle{ 2009^3}\), czy się zeruje. 2009 jest liczbą pierwszą, więc szło to jakoś zrobić. Skoro wyszło, że dzielniki nie są pierwiastkami oznacza to, że nie me wymiernych.
Nie jestem jednak zadowolony z tego rozwiązania dlatego proszę o jakiś inny, lepszy pomysł .
Pozdrawiam

[Mariusz M]

1.

Współczynnik a masz ze wzorów Viete i tego że suma pierwiastków jest równa \(\displaystyle{ 6}\)
Współczynnik c masz z tego że wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x}\)

2.

Możesz wykorzystać podzielność modulo 3

[tukanik]

Możesz wykorzystać podzielność modulo 3

Możesz rozwinąć swój post ?

[Mortify]

Co możesz powiedzieć o podzielności lewej strony równania przez 3?
Następnie spójrz na prawą stronę.

[Ser Cubus]

Możesz wykorzystać podzielność modulo 3

Możesz rozwinąć swój post ?

modulo to reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ 5 : 2 = 2 r 1\\}\)
czyli \(\displaystyle{ 5 \mod 2 = 1}\)