Wyznacz najmniejszą wartość wielomianu. Rozwiąż równa

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 30 gru 2004, o 13:41

Dany jest wielomian W(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10.
a)Wyznacz najmniejszą wartość wielomianu W(x);
b)Rozwiąż równanie W(x)= 0.

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 30 gru 2004, o 15:18

wstaw nowa zmienna t=x-2,5
Q(t)=(t-1,5)(t-0,5)(t+0,5)(t+1,5) + 10 = (t^2 -0,5^2)(t^2-1,5^2) +10 =
t^4 - 2,5 t^2 + 0.5625 + 10

wstawiasz nowa zmienna y=t^2
i masz rownanie kwadratowe o dziedzinie

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 30 gru 2004, o 15:57

Wydaje mi się, że rozumiem skąd się to 2.5 wzięło, ale jak patrzę na to nowe równanie, to tam prześliczna delta wyjdzie...

Czy nie ma na to prostszego sposobu(znaczy ładniejszego)? A ten jest autorski, czy to się jakoś nazywa, żebym na przyszłość wiedział...

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 30 gru 2004, o 16:29

Ja bym troche inaczej robił

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)+10=0}\)

\(\displaystyle{ (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)+10=0}\)

Teraz podstawiasz zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2-5x+5}\)

\(\displaystyle{ (t-1)(t+1)+10=0}\)

To równanie nie ma rozwiązań.

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 30 gru 2004, o 17:11

Niech ktoś przeliczy oboma sposobami, bo mi co innego wyszło

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 30 gru 2004, o 17:16

Ten wielomian nie ma rozwiązań, tak ci wyszło?

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 30 gru 2004, o 17:31

dla drugiej części to oczywiście nie ma rozwiązań, ale jeszcze było pytanie o najmniejszą wartość tego wielomianu. Jednym sposobem wyszło mi 2.5 a drugim jakieś coś mocno ułamkowe

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 30 gru 2004, o 18:19

Zbadaj funkcję
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)
i przesuń o 10 do góry.

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 30 gru 2004, o 18:50

no tak, liczyłem sobie nie wartość minimalną, ale argument dla wartości minimalnej i jeszcze mi źle wyszło

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 30 gru 2004, o 23:51

Można policzyć pochodną

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x^4+5x^3+35x^2+50x+34}\)

\(\displaystyle{ W'(x)=4x^3+30x^2+70x+50}\)

\(\displaystyle{ W'(x)=2(2x+5)(x^2+5x+5)}\)

Teraz bez problemu wyliczysz trzy wartości i poszukasz wartości minialnej, uciążliwa droga, ale wynik da.

vilgefortz · Post autor: **vilgefortz** » 31 gru 2004, o 08:33

Liczenie pochodnych to za wysoko...
Czy tamte wcześniejsze są prawidłowe? I jakie tam założenia mają być?

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 31 gru 2004, o 11:30

A tam nie ma błędu ?
Pochodzną z 5x3 nie jest przypadkiem 3*5x2 a nie 30x2 ?

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 31 gru 2004, o 12:01

Mnie wyszło
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10\\W(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+34}\)

\(\displaystyle{ W'(x)=4x^3-30x^2+70x-50}\)
\(\displaystyle{ W'(x)=2(2x-5)(x^2-5x+5)}\)

Jeśli ma być bez pochdnych, to proponuję zbadanie zbioru wartości funkcji W(x), najmniejsza wartość w tym zbiorze to minimum funkcjji. W tm celu szukam dla jakich "k" wykres funkcji W(x) przecina się z prostą g(x)=k.
\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10=k}\)
Teraz, metodą zaproponowaną wcześniej przez Skrzypu otrzymujemy
\(\displaystyle{ (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)+10-k=0}\)

Podstawiając zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x^2-5x+5}\)

\(\displaystyle{ (t-1)(t+1)+10-k=0}\)
\(\displaystyle{ t^2+9-k=0}\)

Aby było przecięcie musi być k >= 9 a dla k=9 będzie minimum.

rabbi · Post autor: **rabbi** » 9 wrz 2007, o 19:42

Męczę się z tym samym zadaniem tyle że bez dodania 10 na końcu i dalej nie wiem jak to zrobić ktoś ma jeszcze jakiś pomysły, albo chociaż konkrety którego sposobu użyć? Ja mam znaleźć jedynie wartość minimalną... pozdrawiam.