pierwiastki wymierne

[tukanik]

Witam
Jeśli chodzi o twierdzenie o pierwiastkach wymiernych to czy każdy pierwiastek wymierny wielomianu musi być dzielnikiem wyrazu wolnego lub wyrazu przy najwyższej potędze?

[mat_61]

Nie.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu mówi, że jeżeli pierwiastkiem tego wielomianu o współczynnikach całkowitych jest liczba wymierna \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze, to \(\displaystyle{ a}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast \(\displaystyle{ b}\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Przykładowo dla wielomianu:

\(\displaystyle{ W(x)=4x^5-2x^3+x^2+7}\)

możemy szukać pierwiastków wymiernych spośród wszystkich ułamków w których licznik jest równy \(\displaystyle{ \left\{ -7;-1;1;7\right\}}\) natomiast mianownik \(\displaystyle{ \left\{ -4;-2;-1;1;2;4\right\}}\)

[tukanik]

możemy szukać pierwiastków wymiernych spośród wszystkich ułamków w których licznik jest równy \(\displaystyle{ \left\{ -7;-1;1;7\right\}}\)
natomiast mianownik \(\displaystyle{ \left\{ -4;-2;-1;1;2;4\right\}}\)

Rozumiem, że możemy szukać, ale może być tak, że nie znajdziemy nawet pomimo tego, że istnieją inne pierwiastki WYMIERNE, czyli niekoniecznie pierwiastki wymierne muszę to spełniać.

[piasek101]

Innych wymiernych nie ma; bo jeśli ma to zachodzi wcześniejsze.

[tukanik]

czyli KAŻDY pierwiastek wymierny to ułamek, gdzie licznik jest dzielnikiem wyrazu a, a mianownik to dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze?

[mat_61]

Tak, KAŻDY.