Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ogrodzona
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Udowodnij nierówność x^2 + y^2 + z^2 >=xy +yz + zx dla dowolnych liczb rzeczywistych
x, y, z . W oparciu o tę nierówność wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a spełniona jest nierówność
x, y, z . W oparciu o tę nierówność wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a spełniona jest nierówność
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
potem jeszcze trzeba cos odjac stronami i przypomniec sobie wzory skroconego mnozenia. a zeby dowiesc drugiej to tak dobierz x,y,z zeby sie zgadzalo.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ogrodzona
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Do czego próbować to zwinąć? Do (a+b+c)^2 ? A potem to mam tę nierówność podstawić w całości do drugiej, tylko podstawić za x,y,z np. sqrt{a}, albo a ?
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Nie... musisz dostać wynik, mówiący, że suma trzech kwadratów jest nieujemna... Powiedz, czy chcesz sam do tego dojść, czy nie, bo już dalej doprowadzać nie jestem w stanie...
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ogrodzona
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Chyba jednak potrzebuję łopatologicznego wyjaśnienia, bo po świętach nie mogę się pozbierać , za dużo lenistwa... Proszę o rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ogrodzona
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Otóz daleko jestem, bo nie mogę załapać co mam robić. Nie wiem, co mi da mnożenie przez 2, jedyny sensowny wzór do użycia to mi wygląda na kwadrat sumy trzech niewiadomych, bo inne tu nic nie pomogą, a nawet przy tym wzorze muszę sporo tego na drugą stronę wyrzucić i to mi nic nie daje.
Do Arka: ale suma trzech kwadratów, czegokolwiek pod tym nie rozumiesz, to jest zawsze nieujemna chyba? Bo chyba dalej nie rozumiem...
Do Arka: ale suma trzech kwadratów, czegokolwiek pod tym nie rozumiesz, to jest zawsze nieujemna chyba? Bo chyba dalej nie rozumiem...
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Ok, nie będziemy Cię męczyć...
Oto rozwiązanie:
x2+y2+z2 >=xy+ xz + yz (mnożymy razy 2)
2x2+2y2+2z2 >=2xy+ 2xz + 2yz =>
x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2 >= 2xy + 2xz + 2yz =>
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 >=0 =>
(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 >=0
I to kończy dowód...
Z drugą nierównością trzeba podobnie postąpić...
Oto rozwiązanie:
x2+y2+z2 >=xy+ xz + yz (mnożymy razy 2)
2x2+2y2+2z2 >=2xy+ 2xz + 2yz =>
x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2 >= 2xy + 2xz + 2yz =>
x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 >=0 =>
(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 >=0
I to kończy dowód...
Z drugą nierównością trzeba podobnie postąpić...
-
- Użytkownik
- Posty: 1146
- Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 18 razy
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Tak jak popowiada Arek mnożymy przez 2
I przerzucamy wszystko na lewą strone
I zwijasz w kwadraty
Teraz już chyba wiesz co dalej
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ogrodzona
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.
Nierownosc druga mozemy pokazac w nieco inny sposob, a mianowicie:
Polozmy sqrt(a)=t. Wtedy nasza nierownosc przyjmie (po uporzadkowaniu) postac:
t6-t4-t3+t2-t+1 >= 0
Lewa strone (oznaczmy ja W(t)) mozemy teraz ladnie pozwijac:
W(t)=t4(t2-1)-t2(t-1)-(t-1)=(t-1)(t5+t4-t2-1)=
=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+t2(t3-1)]=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+(t-1)t2(t2+t+1)]=
=(t-1)2(t4+t3+2t2+1)
Widac, ze dla kazdego dodatniego t zachodzi W(t) >= 0, co konczy dowod.
Polozmy sqrt(a)=t. Wtedy nasza nierownosc przyjmie (po uporzadkowaniu) postac:
t6-t4-t3+t2-t+1 >= 0
Lewa strone (oznaczmy ja W(t)) mozemy teraz ladnie pozwijac:
W(t)=t4(t2-1)-t2(t-1)-(t-1)=(t-1)(t5+t4-t2-1)=
=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+t2(t3-1)]=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+(t-1)t2(t2+t+1)]=
=(t-1)2(t4+t3+2t2+1)
Widac, ze dla kazdego dodatniego t zachodzi W(t) >= 0, co konczy dowod.