Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
vilgefortz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ogrodzona

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: vilgefortz »

Udowodnij nierówność x^2 + y^2 + z^2 >=xy +yz + zx dla dowolnych liczb rzeczywistych
x, y, z . W oparciu o tę nierówność wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a spełniona jest nierówność
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: Arek »

Ja proponuję w przypadku obu nierówności pomnożenie stronami przez 2.
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: g »

potem jeszcze trzeba cos odjac stronami i przypomniec sobie wzory skroconego mnozenia. a zeby dowiesc drugiej to tak dobierz x,y,z zeby sie zgadzalo.
vilgefortz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ogrodzona

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: vilgefortz »

Do czego próbować to zwinąć? Do (a+b+c)^2 ? A potem to mam tę nierówność podstawić w całości do drugiej, tylko podstawić za x,y,z np. sqrt{a}, albo a ?
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: Arek »

Nie... musisz dostać wynik, mówiący, że suma trzech kwadratów jest nieujemna... Powiedz, czy chcesz sam do tego dojść, czy nie, bo już dalej doprowadzać nie jestem w stanie...
vilgefortz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ogrodzona

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: vilgefortz »

Chyba jednak potrzebuję łopatologicznego wyjaśnienia, bo po świętach nie mogę się pozbierać , za dużo lenistwa... Proszę o rozwiązanie.
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: g »

zrob co mowimy i pokaz gdzie jestes.
vilgefortz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ogrodzona

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: vilgefortz »

Otóz daleko jestem, bo nie mogę załapać co mam robić. Nie wiem, co mi da mnożenie przez 2, jedyny sensowny wzór do użycia to mi wygląda na kwadrat sumy trzech niewiadomych, bo inne tu nic nie pomogą, a nawet przy tym wzorze muszę sporo tego na drugą stronę wyrzucić i to mi nic nie daje.

Do Arka: ale suma trzech kwadratów, czegokolwiek pod tym nie rozumiesz, to jest zawsze nieujemna chyba? Bo chyba dalej nie rozumiem...
Awatar użytkownika
Arek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: Arek »

Ok, nie będziemy Cię męczyć...

Oto rozwiązanie:

x2+y2+z2 >=xy+ xz + yz (mnożymy razy 2)

2x2+2y2+2z2 >=2xy+ 2xz + 2yz =>

x2 + y2 + x2 + z2 + y2 + z2 >= 2xy + 2xz + 2yz =>

x2 - 2xy + y2 + x2 - 2xz + z2 + y2 - 2yz + z2 >=0 =>

(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 >=0

I to kończy dowód...

Z drugą nierównością trzeba podobnie postąpić...
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: Skrzypu »



Tak jak popowiada Arek mnożymy przez 2



I przerzucamy wszystko na lewą strone





I zwijasz w kwadraty



Teraz już chyba wiesz co dalej
vilgefortz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 29 lis 2004, o 08:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ogrodzona

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: vilgefortz »

No cóż, jak mówiłem ślepy jestem, bo to banalne
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Udowodnij nierówność i za jej pomocą pokaż inną.

Post autor: liu »

Nierownosc druga mozemy pokazac w nieco inny sposob, a mianowicie:
Polozmy sqrt(a)=t. Wtedy nasza nierownosc przyjmie (po uporzadkowaniu) postac:

t6-t4-t3+t2-t+1 >= 0

Lewa strone (oznaczmy ja W(t)) mozemy teraz ladnie pozwijac:

W(t)=t4(t2-1)-t2(t-1)-(t-1)=(t-1)(t5+t4-t2-1)=
=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+t2(t3-1)]=(t-1)[(t2-1)(t2+1)+(t-1)t2(t2+t+1)]=
=(t-1)2(t4+t3+2t2+1)
Widac, ze dla kazdego dodatniego t zachodzi W(t) >= 0, co konczy dowod.
ODPOWIEDZ