Znaleźć wszystkie wielomiany spełniające warunki:
1) \(\displaystyle{ x \cdot W(x + 1) = (x + 11) \cdot W(x)}\)
2) \(\displaystyle{ W(2)= 13 !}\)
Jak zabrać się do takiego zadania? Jakie warunki muszę ułożyć? Proszę o pomoc.
Znaleźć wszystkie wielomiany spełniające warunki
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Znaleźć wszystkie wielomiany spełniające warunki
To są dwa podpunkty czy dwa warunki dla jednego wielomianu?
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Znaleźć wszystkie wielomiany spełniające warunki
Zauważmy, że jeśli dla \(\displaystyle{ x_o>0}\) mamy \(\displaystyle{ W(x_o)=0}\), to wtedy również \(\displaystyle{ W(x_o+1)=0}\). Wielomian miałby wtedy nieskończenie wiele miejsc zerowych, więc \(\displaystyle{ W(x)=0}\), ale wtedy \(\displaystyle{ W(2)\ne 13!}\). Wielomian nie może więc mieć pierwiastków dodatnich.
Jeśli dla \(\displaystyle{ x_o<0,\,x_o\ne -11}\), mamy \(\displaystyle{ W(x_o)=0}\), to wtedy także \(\displaystyle{ W(x_o-1)=0}\), czyli znów jest nieskończenie wiele miejsc zerowych. Ponieważ \(\displaystyle{ 0\cdot W(1)=11\cdot W(0)}\), stąd \(\displaystyle{ W(0)=0}\). Zatem liczby \(\displaystyle{ 0,-1,-2,...,-10}\) są miejscami zerowymi, natomiast \(\displaystyle{ -11}\) już nie. Postać wielomianu może być więc tylko taka:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)=Q(x)\cdot P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie ma miejsc zerowych. Musi zachodzić równość:
\(\displaystyle{ (x+11)\cdot W(x)=x\cdot W(x+1)\\\\
(x+11)\cdot Q(x)\cdot P(x)=x\cdot Q(x+1)\cdot P(x+1)\\\\
(x+11)\cdot Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)=x\cdot Q(x+1)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+1+n)\\\\
Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)=x\cdot Q(x+1)\cdot\prod_{n=1}^{11}(x+n)\\\\
Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)=Q(x+1)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)\\\\
Q(x)=Q(x+1)}\)
więc \(\displaystyle{ Q(x)=const=A}\). Teraz wyznaczamy
\(\displaystyle{ W(2)=A\cdot\prod_{n=0}^{10}(2+n)=A\cdot 12!=13!\Rightarrow A=13}\)
zatem wielomian to:
\(\displaystyle{ W(x)=13\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)}\)
Ale nie ręczę za wynik, bo jest już bardzo późno
Jeśli dla \(\displaystyle{ x_o<0,\,x_o\ne -11}\), mamy \(\displaystyle{ W(x_o)=0}\), to wtedy także \(\displaystyle{ W(x_o-1)=0}\), czyli znów jest nieskończenie wiele miejsc zerowych. Ponieważ \(\displaystyle{ 0\cdot W(1)=11\cdot W(0)}\), stąd \(\displaystyle{ W(0)=0}\). Zatem liczby \(\displaystyle{ 0,-1,-2,...,-10}\) są miejscami zerowymi, natomiast \(\displaystyle{ -11}\) już nie. Postać wielomianu może być więc tylko taka:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)=Q(x)\cdot P(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie ma miejsc zerowych. Musi zachodzić równość:
\(\displaystyle{ (x+11)\cdot W(x)=x\cdot W(x+1)\\\\
(x+11)\cdot Q(x)\cdot P(x)=x\cdot Q(x+1)\cdot P(x+1)\\\\
(x+11)\cdot Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)=x\cdot Q(x+1)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+1+n)\\\\
Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)=x\cdot Q(x+1)\cdot\prod_{n=1}^{11}(x+n)\\\\
Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)=Q(x+1)\cdot\prod_{n=0}^{11}(x+n)\\\\
Q(x)=Q(x+1)}\)
więc \(\displaystyle{ Q(x)=const=A}\). Teraz wyznaczamy
\(\displaystyle{ W(2)=A\cdot\prod_{n=0}^{10}(2+n)=A\cdot 12!=13!\Rightarrow A=13}\)
zatem wielomian to:
\(\displaystyle{ W(x)=13\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)}\)
Ale nie ręczę za wynik, bo jest już bardzo późno
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Znaleźć wszystkie wielomiany spełniające warunki
Tak ściśle rzecz biorąc to powinno być:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)^{k_n},\,k_n\in Z}\)
bo miejsca zerowe mogą być wielokrotne, dopiero później z równania \(\displaystyle{ (x+11)\cdot W(x)=x\cdot W(x+1)}\) wynika, że muszą być jednokrotne.
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot\prod_{n=0}^{10}(x+n)^{k_n},\,k_n\in Z}\)
bo miejsca zerowe mogą być wielokrotne, dopiero później z równania \(\displaystyle{ (x+11)\cdot W(x)=x\cdot W(x+1)}\) wynika, że muszą być jednokrotne.