2 reszty wielomianowe

[tukanik]

Witam,
Mam prośbę, aby ktoś wytłumaczył mi następujące zadanie:
Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian \(\displaystyle{ (x - 1)}\) jest równa 2, a z dzielenia przez dwumian\(\displaystyle{ (x-3)}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Podaj wielomian \(\displaystyle{ R(x)}\), który jest resztą z dzielenia wielomianu\(\displaystyle{ W(x)}\) przez\(\displaystyle{ (x-1)(x-3)}\)
Pozdrawiam!

[loitzl9006]

W takich zadaniach wykorzystujemy dwa twierdzenia: pierwsze jest takie:
Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x-a)}\) jest równa \(\displaystyle{ W(a)}\).
Drugie - twierdzenie o rozkładzie wielomianu:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot Q(x)+R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ P(x)}\) - dzielnik (w naszym przypadku \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x-3)}\)),
\(\displaystyle{ Q(x)}\) - wynik z dzielenia \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ P(x)}\),
\(\displaystyle{ R(x)}\) - reszta z dzielenia.

Jest jeszcze zasada: stopień wielomianu \(\displaystyle{ R(x)}\) jest co najmniej o jeden niższy od stopnia wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\). Skoro \(\displaystyle{ P(x)}\) jest wielomianem drugiego stopnia, to przyjmujemy, że \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\) i mamy wyliczyć \(\displaystyle{ a,b}\).

Napisz twierdzenie o rozkładzie wielomianu, wstaw co trzeba za \(\displaystyle{ P(x), \ R(x)}\), potem wykorzystaj dane dotyczące reszty z dzielenia, podstaw i rozwiąż układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ a,b}\).

[mmoonniiaa]

Możesz najpierw zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{W\left( x\right) }{x-1}=P\left( x\right) + \frac{2}{x-1} \\
\frac{W\left( x\right) }{x-3}=Q\left( x\right) + \frac{5}{x-3}}\)

Z tego otrzymujesz, że:
\(\displaystyle{ W\left( x\right) =P\left( x\right)\left( x-1\right) +2 \\
W\left( x\right) =Q\left( x\right) \left( x-3\right) + 5}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ W\left( 1\right)=2 \\
W\left( 3\right)=5}\)

Podobnie rozpiszmy dzielenie:
\(\displaystyle{ \frac{W\left( x\right) }{\left( x-1\right)\left( x-3\right) }=S\left( x\right) + R\left( x\right)}\)

Reszta jest postaci: \(\displaystyle{ R\left( x\right)=ax+b}\)

Czyli mamy:
\(\displaystyle{ W\left( x\right) =S\left( x\right)\left( x-1\right)\left( x-3\right) + ax+b}\)

Wystarczy teraz napisać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W\left( 1\right)=a+b=2 \\ W\left( 3\right) =3a+b=5 \end{cases}}\)

Rozwiąż ten układ.

[tukanik]

Możesz najpierw zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{W\left( x\right) }{x-1}=P\left( x\right) + \frac{2}{x-1} \\ \frac{W\left( x\right) }{x-3}=Q\left( x\right) + \frac{5}{x-3}}\)

Możesz wyjaśnić dlaczego tą dwójkę i piątkę dzielimy przed dwumiany?

[mmoonniiaa]

Bo o to chodzi w reszcie z dzielenia. Np. przy dzieleniu liczby \(\displaystyle{ 10}\) przez liczbę \(\displaystyle{ 3}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ 3}\) i resztę \(\displaystyle{ 1}\), czyli to, czego nie dało się już podzielić przez \(\displaystyle{ 3}\), aby uzyskać liczbę całkowitą.
Jeśli taki zapis dzielenia wielomianu do Ciebie nie przemawia, to zapamiętaj twierdzenie o rozkładzie wielomianu, o którym pisał loitzl9006.

[tukanik]

dziękuję Wam za odpowiedzi
Teraz jeszcze muszę się dopytać, dlaczego, możemy napisać taki układ równań, tzn. skąd wiadomo, że ta nasza reszta musi spełniać takie kryteria?

[mmoonniiaa]

Podstawiasz za iks jeden i otrzymujesz:
\(\displaystyle{ W\left( 1\right) =S\left( 1\right)\left( 1-1\right)\left( 1-3\right) + a \cdot 1+b=0+a+b= \blue a+b}\)

A wcześniej wyznaczyliśmy, że \(\displaystyle{ W\left( 1\right)= \blue 2}\)

Dlatego możemy przyrównać: \(\displaystyle{ a+b=2}\)

Podobnie powstało drugie równanie tego układu.

[bob1000]

Skąd wiemy,że stopień wielomianu \(\displaystyle{ R(x)}\) jest co najmniej o jeden niższy od stopnia wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\), jak powiedział loitzl9006.

[loitzl9006]

Stąd, że np. \(\displaystyle{ x^2}\) nie da rady podzielić przez \(\displaystyle{ x^3}\), zaś \(\displaystyle{ x^3}\) nie podzieli się przez \(\displaystyle{ x^4}\). To tak, jakbyś próbował dzielić \(\displaystyle{ 2}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) , albo \(\displaystyle{ 3}\) przez \(\displaystyle{ 4}\).