wartośc wielomianu w punkcie

rochaj · Post autor: **rochaj** » 19 lip 2014, o 07:37

Niech f,g,h będa wielomianmi spełniajacymi równania

$\displaystyle{ |f(x)|+g(x)=4x, x\le -2}$

$\displaystyle{ |f(x)|+g(x)=-2x^2, -2<x\le 0}$

$\displaystyle{ |f(x)|+g(x)=h(x), x>0}$

Jaka jest mozliwie najmniejsza wartość $\displaystyle{ f(10)}$?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 19 lip 2014, o 09:50

Skoro mamy do czynienia z wielomianami, to możemy znaleźć jawną postać na $\displaystyle{ f(x)}$.
Zapisując:
$\displaystyle{ f(x)=a_0+a_1x+...+a_n x^n\\
g(x)=b_0+b_1x+...+b_m x^m\\}$
Na odpowiednich przedziałach $\displaystyle{ |f(x)|}$ może przyjąć jedną z dwóch postaci: $\displaystyle{ a_0+a_1x+...+a_n x^n}$ lub $\displaystyle{ -\left( a_0+a_1x+...+a_n x^n\right)}$
Jedną z możliwości jest więc układ równań:
$\displaystyle{ \begin{cases} a_k+b_k=0 \\ a_k-b_k=0 \end{cases}}$
dla $\displaystyle{ k \notin \left\{ 1,2\right\}}$. Oraz:
$\displaystyle{ \begin{cases} a_1+b_1=4 \\ a_1-b_1=0\\
a_2+b_2=0\\
a_2-b_2=-2 \end{cases}}$

a4karo · Post autor: **a4karo** » 19 lip 2014, o 11:49

Ciekawe zadanie. Zauważmy, że jeżeli $\displaystyle{ f}$ spełnia warunki zadania, to $\displaystyle{ -f}$ również. Z trzeciego warunku wynika, że wielomian $f$ nie zmienia znaku przy dodatnich $\displaystyle{ x}$. Ponadto z pewnością zmienia znak w punkcie $\displaystyle{ x=-2}$. Przypuśćmy, że jest dodatni na prawo od $\displaystyle{ -2}$. Stąd wnioskujemy, że
$\displaystyle{ f(x)+g(x)=-2x^2}$ przynamniej na pewnym odcinku (pomiędzy $\displaystyle{ -2}$ i kolejnym zerem wielomianu $\displaystyle{ f}$) $\displaystyle{ [-2,-2+epsilon)}$ oraz $\displaystyle{ -f(x)+g(x)=4x}$ na odcinku $\displaystyle{ (-2-\epsilon,-2]}$.

A to oznacza, że dla wszystich $\displaystyle{ x}$ zachodzi $\displaystyle{ f(x)+g(x)=-2x^2}$ i $\displaystyle{ -f(x)+g(x)=4x}$.
Stąd $\displaystyle{ g(x)=2x-x^2}$ a $\displaystyle{ f(x)=-x^2-2x}$

Oczywiście $\displaystyle{ f}$ nie ma dodatnich pierwiastków, więc warunek 3 jest spełniony. Mamy $\displaystyle{ f(10)=-120}$ i to jest najmniejsza wartość (wielomian $\displaystyle{ -f}$ przyjmuje wartość $\displaystyle{ 120}$)

W dowodzie wykorzystano fakt, że jeżeli dwa wielomiany są równe na pewnym odcinku, to są równe wszędzie.