Znaleźć wszystkie wielomiany

[gilroid]

Witam, mam zadanie do rozwiązania a mianowicie:

Znaleźć wszystkie wielomiany W dla których dla dowolnych x należących do R zachodzą warunki:

\(\displaystyle{ 1) xW(x+1)=(x+11)W(x)
\newline
2) W(2)=13!}\)

Z góry dzięki za wskazówki!

[Vax]

Podstawiając \(\displaystyle{ x = 0}\) dostajemy \(\displaystyle{ W(0) = 0}\), stąd dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)}\) mamy \(\displaystyle{ W(x) = xQ(x)}\), wstawiając to do \(\displaystyle{ (1)}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ x(x+1)Q(x+1) = x(x+11)Q(x) \Rightarrow (x+1)Q(x+1) = (x+11)Q(x)}\)

Podobnie, wstawiając \(\displaystyle{ x=-1}\) dostajemy \(\displaystyle{ Q(-1) = 0}\) stąd \(\displaystyle{ Q(x) = (x+1)F(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ F(x)}\), jak łatwo zauważyć dane nowe wielomiany będą się dalej zerowały dla \(\displaystyle{ x=-2 , -3 , ... , -10}\), więc możemy zapisać, że nasz wielomian:

\(\displaystyle{ W(x) = x(x+1)(x+2)...(x+10)A(x)}\)

Dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ A(x)}\), wstawmy to do \(\displaystyle{ (1)}\):

\(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)...(x+11)A(x+1) = x(x+1)...(x+11)A(x) \Rightarrow A(x) = A(x+1)}\) dla nieskończenie wielu rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\), skąd dany wielomian jest wielomianem stałym, tj \(\displaystyle{ A(x) = c}\), więc:

\(\displaystyle{ W(x) = c\cdot x(x+1)(x+2)...(x+10)}\)

Ale \(\displaystyle{ 13! = W(2) = c \cdot 12! \iff c = 13}\)

Stąd ostatecznie \(\displaystyle{ W(x) = 13x(x+1)(x+2)...(x+10)}\)

[gilroid]

Do tego, że W zeruje się dla x=0 doszedłem sam, ale co dalej z tym zrobić to nie miałem pomysłu. Ładnie pomyślane i jak na moje oko rzeczywiście udowodnione. Anyone to confirm?

[skazy]

Vax to niezły blefiarz, ale akurat tutaj się zgadzam z jego tokiem rozumowania.

[gilroid]

No właśnie sam tok mi odpowiada, tylko czasem tak jest z zadaniami że sposób rozwiązania nie daje szans na rozwiązanie zadania do końca. Ale uważasz że jest dobrze to wielkie dzięki.