\(\displaystyle{ x^{3}-3x-1=0}\)
Jestem na poziomie licealnym i znane mi metody rozwiązywania równań wielomianowych tu nie działają. Może jakieś podstawienia, może da się to jakoś rozłożyć? Liczę na podpowiedzi.
Rozwiąż równanie wielomianowe.
-
murfy
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 3 lis 2012, o 16:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bełżyce
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 8 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Albo wymyślasz jakieś liczby i podstawiasz - może akurat trafisz.
Albo schemat Hornera - my przynajmniej tego używaliśmy w liceum.
Chociaż w tym przypadku chyba żadne z powyższych nie zadziała.
Albo schemat Hornera - my przynajmniej tego używaliśmy w liceum.
Chociaż w tym przypadku chyba żadne z powyższych nie zadziała.
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Podobna da się rozwiązać to jakąś niekonwencjonalną metodą, zwykłe licealne metody tu nie podziałają, a wymyślanie liczb i podstawianie to nie rozwiązanie.
Skoro jednak Qń twierdzi, że bez wyższej matematyki tutaj nic nie zdziałam to odpuszczę sobie ten przykład.
Skoro jednak Qń twierdzi, że bez wyższej matematyki tutaj nic nie zdziałam to odpuszczę sobie ten przykład.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
NephilimV, miałeś funkcje trygonometryczne ?
Równanie przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus) kąta potrojonego
Podstaw \(\displaystyle{ x=2\cos{\theta}}\)
Po podstawieniu mamy
\(\displaystyle{ 8\cos^{3}{\theta}-6\cos{\theta}-1\\
8\cos^{3}{\theta}-6\cos{\theta}=1\\
4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\frac{1}{2}\\
\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\\
3\theta_{1}=\frac{\pi}{3}\\
3\theta_{2}=\frac{7\pi}{3}\\
3\theta_{3}=\frac{13\pi}{3}\\
x_{1}=2\cos{\frac{\pi}{9}}\\
x_{2}=2\cos{\frac{7\pi}{9}}\\
x_{3}=2\cos{\frac{13\pi}{9}}\\}\)
NephilimV, masz funkcje trygonometryczne ?
Znasz pojęcie funkcji odwrotnej ?
Znasz twierdzenie Bezout ?
(wzory Viete są opcjonalne)
Jeśli tak to można tobie przedstawić metodę na równania trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
można podzielić na trzy przypadki
1. Sprawdzasz czy możesz skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy(różnicy)
2. Sprawdzasz czy możesz sprowadzić równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
mającego rzeczywiste pierwiastki (z których co najmniej jeden jest niezerowy)
a) rugujesz wyraz \(\displaystyle{ a_{2}x^{2}}\) np podstawieniem \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3})}}\)
oraz dzielisz równanie przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
b) w równaniu \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) przenosisz część liniową na drugą stronę równania
c) w równaniu \(\displaystyle{ y^3=-py-q}\) wprowadzasz nową zmienną
tak aby lewa strona nadal była sześcianem
d) w równaniu \(\displaystyle{ \left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-p\right)+z^3-q}\)
rugujesz \(\displaystyle{ y}\) z prawej strony równania
e) otrzymujesz równanie \(\displaystyle{ 3yz+3z^2-p=0}\) z którego otrzymujesz że
\(\displaystyle{ y+z=\frac{p}{3z}\\y=-z+\frac{p}{3z}}\)
f) wstawiając \(\displaystyle{ y+z=\frac{p}{3z}}\) do równania \(\displaystyle{ \left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-p\right)+z^3-q}\) i mnożąc przez \(\displaystyle{ z^3}\) otrzymujemy równanie szóstego stopnia sprowadzalne do kwadratowego
Jeżeli otrzymane równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste to obliczasz pierwiastek
korzystasz z twierdzenia Bezout , dzielisz wielomian przez \(\displaystyle{ x-x_{1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) to znaleziony pierwiastek o sprawdzasz czy
dwa pozostałe pierwiastki też są rzeczywiste
3. Jeżeli równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych
to zauważasz że równanie \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus) kąta potrojonego
Stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}}\)
i otrzymujesz wzór na cosinus potrojonego kąta
Kąt \(\displaystyle{ \theta}\) obliczasz korzystając z funkcji odwrotnej do cosinusa
Równanie przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus) kąta potrojonego
Podstaw \(\displaystyle{ x=2\cos{\theta}}\)
Po podstawieniu mamy
\(\displaystyle{ 8\cos^{3}{\theta}-6\cos{\theta}-1\\
8\cos^{3}{\theta}-6\cos{\theta}=1\\
4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}=\frac{1}{2}\\
\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\\
3\theta_{1}=\frac{\pi}{3}\\
3\theta_{2}=\frac{7\pi}{3}\\
3\theta_{3}=\frac{13\pi}{3}\\
x_{1}=2\cos{\frac{\pi}{9}}\\
x_{2}=2\cos{\frac{7\pi}{9}}\\
x_{3}=2\cos{\frac{13\pi}{9}}\\}\)
NephilimV, masz funkcje trygonometryczne ?
Znasz pojęcie funkcji odwrotnej ?
Znasz twierdzenie Bezout ?
(wzory Viete są opcjonalne)
Jeśli tak to można tobie przedstawić metodę na równania trzeciego stopnia
Równanie trzeciego stopnia \(\displaystyle{ a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}\)
można podzielić na trzy przypadki
1. Sprawdzasz czy możesz skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy(różnicy)
2. Sprawdzasz czy możesz sprowadzić równanie trzeciego stopnia do równania kwadratowego
mającego rzeczywiste pierwiastki (z których co najmniej jeden jest niezerowy)
a) rugujesz wyraz \(\displaystyle{ a_{2}x^{2}}\) np podstawieniem \(\displaystyle{ x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3})}}\)
oraz dzielisz równanie przez \(\displaystyle{ a_{3}}\)
b) w równaniu \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) przenosisz część liniową na drugą stronę równania
c) w równaniu \(\displaystyle{ y^3=-py-q}\) wprowadzasz nową zmienną
tak aby lewa strona nadal była sześcianem
d) w równaniu \(\displaystyle{ \left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-p\right)+z^3-q}\)
rugujesz \(\displaystyle{ y}\) z prawej strony równania
e) otrzymujesz równanie \(\displaystyle{ 3yz+3z^2-p=0}\) z którego otrzymujesz że
\(\displaystyle{ y+z=\frac{p}{3z}\\y=-z+\frac{p}{3z}}\)
f) wstawiając \(\displaystyle{ y+z=\frac{p}{3z}}\) do równania \(\displaystyle{ \left( y+z\right)^3=y\left( 3yz+3z^2-p\right)+z^3-q}\) i mnożąc przez \(\displaystyle{ z^3}\) otrzymujemy równanie szóstego stopnia sprowadzalne do kwadratowego
Jeżeli otrzymane równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste to obliczasz pierwiastek
korzystasz z twierdzenia Bezout , dzielisz wielomian przez \(\displaystyle{ x-x_{1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) to znaleziony pierwiastek o sprawdzasz czy
dwa pozostałe pierwiastki też są rzeczywiste
3. Jeżeli równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych
to zauważasz że równanie \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\)
przypomina wzór na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus) kąta potrojonego
Stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}}\)
i otrzymujesz wzór na cosinus potrojonego kąta
Kąt \(\displaystyle{ \theta}\) obliczasz korzystając z funkcji odwrotnej do cosinusa
Rozwiąż równanie wielomianowe.
mariuszm, wielkie dzięki, przykład mnie naprawdę zaciekawił, a Ty pokazałeś mi całkiem ciekawy sposób. Przeanalizowałem wszystko i rzeczywiście ma to ręce i nogi. Jedyne czego w szkole nie miałem to wzór na \(\displaystyle{ cos3 \alpha}\)(ograniczyliśmy się tylko do \(\displaystyle{ cos2 \alpha}\)).
Bardzo dziękuję za pomoc.
Bardzo dziękuję za pomoc.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Wzór na \(\displaystyle{ \cos{3\alpha}}\) to mniejszość
Bez znajomości funkcji odwrotnej nie mógłbyś zdefiniować funkcji obliczającej kąt
a w przypadku gdy da się sprowadzić równanie do równania kwadratowego
mającego pierwiastki rzeczywiste przy czym co najmniej jeden jest niezerowy to
bez dzielenia nie sprawdzisz czy pozostałe pierwiastki wielomianu są też rzeczywiste
Jeżeli miałeś wzór na cosinus(sinus) sumy to wzór na \(\displaystyle{ \cos{3\alpha}}\) łatwo wyprowadzić
Równanie trzeciego stopnia możesz rozwiązać w ten sposób
1. Sprawdzasz czy możesz skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia
2. Sprawdzasz czy możesz sprowadzić równanie trzeciego stopnia do
równania kwadratowego o rzeczywistych pierwiastkach
(przy czym co najmniej jeden z nich jest niezerowy)
3. Jeżeli równanie kwadratowe z punktu 2. nie ma pierwiastków rzeczywistych to
sprowadzasz równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus)
potrojonego kąta
Bez znajomości funkcji odwrotnej nie mógłbyś zdefiniować funkcji obliczającej kąt
a w przypadku gdy da się sprowadzić równanie do równania kwadratowego
mającego pierwiastki rzeczywiste przy czym co najmniej jeden jest niezerowy to
bez dzielenia nie sprawdzisz czy pozostałe pierwiastki wielomianu są też rzeczywiste
Jeżeli miałeś wzór na cosinus(sinus) sumy to wzór na \(\displaystyle{ \cos{3\alpha}}\) łatwo wyprowadzić
Równanie trzeciego stopnia możesz rozwiązać w ten sposób
1. Sprawdzasz czy możesz skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia
2. Sprawdzasz czy możesz sprowadzić równanie trzeciego stopnia do
równania kwadratowego o rzeczywistych pierwiastkach
(przy czym co najmniej jeden z nich jest niezerowy)
3. Jeżeli równanie kwadratowe z punktu 2. nie ma pierwiastków rzeczywistych to
sprowadzasz równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus/cosinus)
potrojonego kąta
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Wielomian stopnia trzeciego ma postać \(\displaystyle{ f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d}\). Wartości współczynników przy iksach \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) określają przebieg funkcji i odzwierciedlają liczbę pierwiastków równania.
Pochodną pierwszego rzędu funkcji zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ f’(x) = 3ax^{2} + 2bx + c}\). Gdy ma ona pierwiastki to określają one wartości osi \(\displaystyle{ x}\), w których występują maksymalnie dwa ekstrema lokalne wielomianu stopnia trzeciego.
Pochodną drugiego rzędu funkcji zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ f"(x) = 6ax + 2b}\). Jej pierwiastek określa wartość osi \(\displaystyle{ x}\), w którym wielomian przechodzi przez punkt przegięcia P2 i przecina się z prostą wyznaczoną przez punkty ekstremów P1P3 wielomianu stopnia trzeciego (Rys. 2). Teoretyczne wartości punktów ekstremów są wyliczone poniżej.
Wyznaczenie punktu przegięcia P2 wielomianu stopnia trzeciego
Gdy \(\displaystyle{ f”(x) = 0}\) to \(\displaystyle{ 6ax_{2} + 2b = 0 \Rightarrow x_{2} = \frac{- b}{3a}}\) to
\(\displaystyle{ f(x_{2}) = \frac{(2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d)}{27a^{2}}}\)
Wyznaczenie punktów ekstremów P1 i P3 wielomianu stopnia trzeciego
Gdy \(\displaystyle{ f’(x) = 0}\) to \(\displaystyle{ 3ax^{2} + 2bx + c = 0 \Rightarrow x_{1,3} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) to
\(\displaystyle{ f(x_{1,3}) = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) \mp 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{1}(x_{1},y_{1})}\) \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) \(\displaystyle{ y_{1} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) + 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{2}(x_{2},y_{2})}\) \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{- b}{3a}}\) . . . . . . . . . . . \(\displaystyle{ y_{2} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d)}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{3}(x_{3},y_{3})}\) \(\displaystyle{ x_{3} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) \(\displaystyle{ y_{3} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) - 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
Prosta może być wyznaczona z tych punktów, a postać jej wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y = - 2(b^{2} - 3ac)x/9a + (9ad - bc)/9a}\)
Przebieg wielomianu trzeciego stopnia opisują dwie stałe:
\(\displaystyle{ s_{1} = (b^{2} - 3ac)/a^{2},}\)
\(\displaystyle{ s_{2} = (2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d)/a^{3},}\)
\(\displaystyle{ s_{3} = (c^{2}(b^{2} - 4ac) - 2d(2b^{2} - 9abc + 13,5a^{2}d))/a^{4}.}\)
Zależność pomiędzy stałymi jest następująca: \(\displaystyle{ 4s_{1}^{3} - s_{2}^{2} = 27s_{3}}\)
Pierwiastki wielomianu stopnia trzeciego można zapisać w formie iloczynu dowolnego pierwiastka \(\displaystyle{ x_{n}}\) i równania kwadratowego. Z takiego zapisu można wydzielić dwa przypadki:
Założenie: \(\displaystyle{ x_{n} \neq x_{1}, x_{2}}\)
\(\displaystyle{ (x - x_{n})(a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1})}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{1}^{2} - 4a_{1}c_{1} < 0}\) wtedy \(\displaystyle{ s_{3} < 0}\) i
\(\displaystyle{ (x - x_{n})(a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1})}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{1}^{2} - 4a_{1}c_{1} \ge 0}\) wtedy \(\displaystyle{ s_{3} \ge 0}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ \frac{- b_{1} - \sqrt{b_{1}^{2} - 3a_{1}c_{1}}}{2a_{1}}<x_{n}<\frac{- b_{1} + \sqrt{b_{1}^{2} - 3a_{1}c_{1}}}{2a_{1}}}\)
\(\displaystyle{ x_{n} \le - b/3a}\) to wtedy \(\displaystyle{ s_{2} \ge 0}\) i
\(\displaystyle{ x_{n} > - b/3a}\) to wtedy \(\displaystyle{ s_{2} < 0}\)
Odbicie pierwiastków wielomianu w symetrii środkowej względem punktu \(\displaystyle{ [\frac{-b}{3a};0]}\) można uzyskać dodając do wielomianu wielkość \(\displaystyle{ \frac{-2s_{2}}{27}}\)
Gdy stałe \(\displaystyle{ s_{1}, |s_{2}|, s_{3}}\) dwóch różnych wielomianów stopnia trzeciego są jednakowe to odległości między pierwiastkami są takie same. Odległości te zapisujemy w postaci delt \(\displaystyle{ \delta_{1,2,3}}\). Stałe danego wielomianu opisują następujące zależności:
Założenie: \(\displaystyle{ \delta_{1} < \delta_{2} < \delta_{3}}\) i \(\displaystyle{ \delta_{1,2,3} \ge 0}\) to \(\displaystyle{ \delta_{1} + \delta_{2} = \delta_{3}}\)
\(\displaystyle{ s_{1} = \delta_{1}\delta_{3} + \delta_{2}\delta_{3} - \delta_{1}\delta_{2},}\)
\(\displaystyle{ s_{2} = (\delta_{1} - \delta_{2})(\delta_{2} + \delta_{3})(\delta_{1} + \delta_{3}),}\)
\(\displaystyle{ s_{3} = (\delta_{1}\delta_{2}∆\delta_{3})^{2}.}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{1} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b - \sqrt[3]{s_{2}}}{3a}\right]\left[x^{2} + \frac{2b - \sqrt[3]{s_{2}}}{3a}x + \frac{b^{2} - b\sqrt[3]{s_{2}} + \sqrt[3]{s_{2}^{2}}}{9a^{2}}\right]}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{2} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b - 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b}{3a}\right]\left[x - \frac{- b + 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{3} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b + \sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b + \sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b - 2\sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]}\)
Poniższe wzory wyliczają zawsze pierwiastki rzeczywiste, gdy \(\displaystyle{ s_{3} \le 0}\) i dla dowolnych pozostałych stałych. Są to zmodyfikowane wzory Cardana.*
\(\displaystyle{ \left[x_{1,3} - \frac{- b + 0,5\sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} + 0,5\sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})} \mp 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]^
{*}}\)
\(\displaystyle{ \left[x_{2} - \frac{- b - \sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} - \sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})}}{3a}\right]}\)
Wielomiany stopnia trzeciego, które posiadają trzy różne pierwiastki, w tym stopnia drugiego, ujawniają wadę w zastosowaniu wzorów Cardano. Wartość \(\displaystyle{ - \sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} - \sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})}}\) można zapisać jako zmienną \(\displaystyle{ z}\), którą określa wielomian:
\(\displaystyle{ z^{3} - 3(b^{2} - 3ac)z/a^{2} + (2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d)/a^{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ z_{n}\left[-0,5z_{n} + 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}\frac{4s_{1} - z_{n}^{2}}{4(z_{n}^{2} - s_{1})}}\right]\left[-0,5z_{n} - 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}\frac{4s_{1} - z_{n}^{2}}{4(z_{n}^{2} - s_{1})}}\right]^{*} = s_{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{360^\circ + arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{720^\circ + arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)
Pochodną pierwszego rzędu funkcji zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ f’(x) = 3ax^{2} + 2bx + c}\). Gdy ma ona pierwiastki to określają one wartości osi \(\displaystyle{ x}\), w których występują maksymalnie dwa ekstrema lokalne wielomianu stopnia trzeciego.
Pochodną drugiego rzędu funkcji zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ f"(x) = 6ax + 2b}\). Jej pierwiastek określa wartość osi \(\displaystyle{ x}\), w którym wielomian przechodzi przez punkt przegięcia P2 i przecina się z prostą wyznaczoną przez punkty ekstremów P1P3 wielomianu stopnia trzeciego (Rys. 2). Teoretyczne wartości punktów ekstremów są wyliczone poniżej.
Rys. 1 Przykładowy przebieg graficzny wielomianu i jego pochodnych
Wyznaczenie punktu przegięcia P2 wielomianu stopnia trzeciego
Gdy \(\displaystyle{ f”(x) = 0}\) to \(\displaystyle{ 6ax_{2} + 2b = 0 \Rightarrow x_{2} = \frac{- b}{3a}}\) to
\(\displaystyle{ f(x_{2}) = \frac{(2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d)}{27a^{2}}}\)
Wyznaczenie punktów ekstremów P1 i P3 wielomianu stopnia trzeciego
Gdy \(\displaystyle{ f’(x) = 0}\) to \(\displaystyle{ 3ax^{2} + 2bx + c = 0 \Rightarrow x_{1,3} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) to
\(\displaystyle{ f(x_{1,3}) = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) \mp 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{1}(x_{1},y_{1})}\) \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) \(\displaystyle{ y_{1} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) + 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{2}(x_{2},y_{2})}\) \(\displaystyle{ x_{2} = \frac{- b}{3a}}\) . . . . . . . . . . . \(\displaystyle{ y_{2} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d)}{27a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ P_{3}(x_{3},y_{3})}\) \(\displaystyle{ x_{3} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 3ac}}{3a}}\) \(\displaystyle{ y_{3} = \frac{(2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d) - 2\sqrt{(b^{2} - 3ac)^{3}}}{27a^{2}}}\)
Prosta może być wyznaczona z tych punktów, a postać jej wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y = - 2(b^{2} - 3ac)x/9a + (9ad - bc)/9a}\)
Rys. 2 Wyznaczanie długości odcinka P1P3 o wartości E
Przebieg wielomianu trzeciego stopnia opisują dwie stałe:
\(\displaystyle{ s_{1} = (b^{2} - 3ac)/a^{2},}\)
\(\displaystyle{ s_{2} = (2b^{2} - 9abc + 27a^{2}d)/a^{3},}\)
\(\displaystyle{ s_{3} = (c^{2}(b^{2} - 4ac) - 2d(2b^{2} - 9abc + 13,5a^{2}d))/a^{4}.}\)
Zależność pomiędzy stałymi jest następująca: \(\displaystyle{ 4s_{1}^{3} - s_{2}^{2} = 27s_{3}}\)
Pierwiastki wielomianu stopnia trzeciego można zapisać w formie iloczynu dowolnego pierwiastka \(\displaystyle{ x_{n}}\) i równania kwadratowego. Z takiego zapisu można wydzielić dwa przypadki:
Założenie: \(\displaystyle{ x_{n} \neq x_{1}, x_{2}}\)
\(\displaystyle{ (x - x_{n})(a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1})}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{1}^{2} - 4a_{1}c_{1} < 0}\) wtedy \(\displaystyle{ s_{3} < 0}\) i
\(\displaystyle{ (x - x_{n})(a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1})}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{1}^{2} - 4a_{1}c_{1} \ge 0}\) wtedy \(\displaystyle{ s_{3} \ge 0}\)
Rys. 3 Graficzna interpretacja zależności wielomianów od stałych \(\displaystyle{ s_{1}}\) i \(\displaystyle{ s_{3}}\)
Przedziały wartości stałej \(\displaystyle{ s_{2}}\) określa zależność:Założenie:
\(\displaystyle{ \frac{- b_{1} - \sqrt{b_{1}^{2} - 3a_{1}c_{1}}}{2a_{1}}<x_{n}<\frac{- b_{1} + \sqrt{b_{1}^{2} - 3a_{1}c_{1}}}{2a_{1}}}\)
\(\displaystyle{ x_{n} \le - b/3a}\) to wtedy \(\displaystyle{ s_{2} \ge 0}\) i
\(\displaystyle{ x_{n} > - b/3a}\) to wtedy \(\displaystyle{ s_{2} < 0}\)
Odbicie pierwiastków wielomianu w symetrii środkowej względem punktu \(\displaystyle{ [\frac{-b}{3a};0]}\) można uzyskać dodając do wielomianu wielkość \(\displaystyle{ \frac{-2s_{2}}{27}}\)
Rys. 4 Symetria środkowa pierwiastków wielomianów względem punktu \(\displaystyle{ [\frac{-b}{3a};0]}\)
Gdy stałe \(\displaystyle{ s_{1}, |s_{2}|, s_{3}}\) dwóch różnych wielomianów stopnia trzeciego są jednakowe to odległości między pierwiastkami są takie same. Odległości te zapisujemy w postaci delt \(\displaystyle{ \delta_{1,2,3}}\). Stałe danego wielomianu opisują następujące zależności:
Założenie: \(\displaystyle{ \delta_{1} < \delta_{2} < \delta_{3}}\) i \(\displaystyle{ \delta_{1,2,3} \ge 0}\) to \(\displaystyle{ \delta_{1} + \delta_{2} = \delta_{3}}\)
\(\displaystyle{ s_{1} = \delta_{1}\delta_{3} + \delta_{2}\delta_{3} - \delta_{1}\delta_{2},}\)
\(\displaystyle{ s_{2} = (\delta_{1} - \delta_{2})(\delta_{2} + \delta_{3})(\delta_{1} + \delta_{3}),}\)
\(\displaystyle{ s_{3} = (\delta_{1}\delta_{2}∆\delta_{3})^{2}.}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{1} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b - \sqrt[3]{s_{2}}}{3a}\right]\left[x^{2} + \frac{2b - \sqrt[3]{s_{2}}}{3a}x + \frac{b^{2} - b\sqrt[3]{s_{2}} + \sqrt[3]{s_{2}^{2}}}{9a^{2}}\right]}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{2} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b - 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b}{3a}\right]\left[x - \frac{- b + 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]}\)
Dla \(\displaystyle{ s_{3} = 0}\) wielomian stopnia trzeciego przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[x - \frac{- b + \sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b + \sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]\left[x - \frac{- b - 2\sqrt[3]{0,5s_{2}}}{3a}\right]}\)
Poniższe wzory wyliczają zawsze pierwiastki rzeczywiste, gdy \(\displaystyle{ s_{3} \le 0}\) i dla dowolnych pozostałych stałych. Są to zmodyfikowane wzory Cardana.*
\(\displaystyle{ \left[x_{1,3} - \frac{- b + 0,5\sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} + 0,5\sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})} \mp 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}}}{3a}\right]^
{*}}\)
\(\displaystyle{ \left[x_{2} - \frac{- b - \sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} - \sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})}}{3a}\right]}\)
Wielomiany stopnia trzeciego, które posiadają trzy różne pierwiastki, w tym stopnia drugiego, ujawniają wadę w zastosowaniu wzorów Cardano. Wartość \(\displaystyle{ - \sqrt[3]{0,5(s_{2} + \sqrt{27|s_{3}|})} - \sqrt[3]{0,5(s_{2} - \sqrt{27|s_{3}|})}}\) można zapisać jako zmienną \(\displaystyle{ z}\), którą określa wielomian:
\(\displaystyle{ z^{3} - 3(b^{2} - 3ac)z/a^{2} + (2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d)/a^{3} = 0}\)
\(\displaystyle{ z_{n}\left[-0,5z_{n} + 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}\frac{4s_{1} - z_{n}^{2}}{4(z_{n}^{2} - s_{1})}}\right]\left[-0,5z_{n} - 3\sqrt[3]{0,5\sqrt{s_{3}}\frac{4s_{1} - z_{n}^{2}}{4(z_{n}^{2} - s_{1})}}\right]^{*} = s_{2}}\)
\(\displaystyle{ z_{1} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{360^\circ + arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = 2\sqrt{s_{1}}cos\left(\frac{720^\circ + arccos\left(\frac{s_{2}}{-2\sqrt{s_{1}^{3}}\right)}}{3} \right)}\)