Zbiór zadań z wielomianów.

hubertt95 · Post autor: **hubertt95** » 12 lis 2012, o 18:06

Za początku samym chcę zaznaczyć że nie było mnie na lekcjach na którch to robiliśmy, tak więc jak ktoś będzie to robił to niech robi tak jak "dla debila" tzn. tak żebym zrozumiał. A oto zadania:

1. Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + x + a}\)
a) Wyznacz wartość parametru a
b) Dla znalezionej wartości parametru a, rozwiąż nierówność : \(\displaystyle{ w(x) \ge 0}\)

2. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^{3} + px^{2} - x + 2}\) przez x - 3 jest równa 8. Wyznacz wartość parametru p oraz wszelkie pierwiastki wielomianu w.

3. Rozwiąż równania i nierówność:
a) \(\displaystyle{ x^{3} - x^{2} - 9x + 9 = 0}\)
b) \(\displaystyle{ 16x^{3} - 28x^{2} + 4x + 3 = 0}\)
c) \(\displaystyle{ \left( x-1\right)^{4}\left( x+2\right) \left( x^{2}+3x+2\right) \ge 0}\)

4. Wyznacz współczynniki a i b tak, aby w(x) \(\displaystyle{ \cdot}\) g(x) = h(x) jeśli :
\(\displaystyle{ w(x) = x^{2} + 3x + 2 , g(x) = ax + b , h(x) = 2x{3} + 3x^{2} - 5x - 6 .}\)

Moni_94 · Post autor: **Moni_94** » 12 lis 2012, o 18:10

No to w pierwszym Za co podstawiasz \(\displaystyle{ 3}\) jeżeli wiesz że jest pierwiastkiem??-- 12 lis 2012, o 18:19 --W drugim stosujesz twierdzenie o reszcie dzielenia wielomianu, które mówi że Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)przez dwumian \(\displaystyle{ x - a}\) Jest równa \(\displaystyle{ W(a)}\)
Czyli w tym przypadku będzie \(\displaystyle{ W(3) = 8}\) i podstawiasz i dalej to już chyba wiadomo

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 12 lis 2012, o 18:19

Zad. 3
a) \(\displaystyle{ x^3-x^2-9x+9=x^2(x-1)-9(x-1)=(x^2-9)(x-1)=(x-3)(x+3)(x-1)}\)
Mamy pierwiastki \(\displaystyle{ x=3,x=-3,x=1}\).
b) \(\displaystyle{ 16x^3-28x^2+4x+3=0}\)
Można zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest pierwiastkiem, więc musisz podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ x-\frac{1}{2}}\). Po podzieleniu powinien zostać Ci trójmian kwadratowy - liczysz deltę i miejsca zerowe.
c) \(\displaystyle{ (x-1)^4(x+2)(x+2)(x+1)\ge 0}\)
Mamy pierwiastki: \(\displaystyle{ 1}\) (czterokrotny), \(\displaystyle{ -2}\) (dwukrotny), \(\displaystyle{ -1}\).
Zaznaczasz na osi te liczby i rysujesz parabolę: w miejscach, gdzie jest pierwiastek dwukrotny albo czterokrotny, parabola się odbija.

Zad. 4 prawdopodobnie jest źle przepisane.

hubertt95 · Post autor: **hubertt95** » 12 lis 2012, o 18:23

Tak źle. Ale już edytowałem to 4.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 12 lis 2012, o 18:25

To wymnóż najpierw \(\displaystyle{ W(x) \cdot G(x)}\) (wiesz jak?) i przyrównaj do siebie współczynniki przed \(\displaystyle{ x^3,x^2,x}\).

hubertt95 · Post autor: **hubertt95** » 12 lis 2012, o 18:31

Jw. przeczytaj wstęp.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 12 lis 2012, o 18:37

\(\displaystyle{ W(x)=x^2+3x+2 \\
G(x)=ax+b \\
W(x) \cdot G(x)=\left( x^2+3x+2\right)\left( ax+b\right)=ax^3+bx^2+3ax^2+3bx+2ax+2b}\)

\(\displaystyle{ W(x) \cdot G(x)=ax^3+(3a+b)x^2+(2a+3b)x+2b \\
H(x)=2x^{3} + 3x^{2} - 5x - 6}\)
Ich współczynniki muszą być równe, więc: \(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ 3a+b=3 \\ 2a+3b=-5 \\ 2b=6 \end{cases}}\)

Tomsh · Post autor: **Tomsh** » 13 lis 2012, o 18:39

Wszysko ok

To a=2, b=3, a 3a+b=3 po podstawieniu jest błedne

Powinno być 2b=(-6)