Współczynniki w rozwinięciu dwumianowym wielomianu

[cossik]

Cześć,

proszę mi pomóc w tym zadaniu:

W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia \(\displaystyle{ \left( \sqrt[4]{x ^{5}} - \frac{3}{x ^{3} } \right)^{7}}\) znaleźć współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ \sqrt[4]{x}}\).

[szw1710]

Dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) mamy \(\displaystyle{ (\sqrt[4]{x^5})^k\cdot\left(\frac{-3}{x^3}\right)^{7-k}=\alpha \sqrt[4]{x}}\) (mniejsza o współczynnik \(\displaystyle{ \alpha}\))?

[cossik]

Szczerze mówiąc nie rozumiem. Skąd to \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\). Może jakieś odniesienie do wzoru albo teorii, żebym wiedział na jakiej podstawie to tam jest i mógł to stosować w innych przykładach. Z góry dzięki.

[szw1710]

Moja wskazówka wymaga po pierwsze znajomości wzoru dwumianowego Newtona, a po drugie pewnego obycia z tym wzorem, czyli czegoś, co nazywa się zalążkiem kultury matematycznej (nie myl z kulturą osobistą, której braku Ci nie zarzucam ). W każdym razie zrób pomocnicze ćwiczenia: np. wylicz ze wzoru dwumianowego Newtona \(\displaystyle{ (x+2)^3}\), \(\displaystyle{ (x-3)^4}\), \(\displaystyle{ (\sqrt{x}+x)^5}\). W tym ostatnim zobacz współczynnik, powiedzmy, przy \(\displaystyle{ x^{\frac{7}{2}}}\). Po wykonaniu tych prostych ćwiczeń powinieneś wpaść na trop. Jeśli dam gotowca - niewiele się nauczysz.