Rozkładanie na czynniki i miejsca zerowe.

[StAnger]

Witam,
Mam problem z takim przykładem \(\displaystyle{ W(x)= ( x^{2} + 1) (x+3) - (x+3) (4-3 x^{2} )}\)
Próbowałem rozwiązać go w taki sposób:
\(\displaystyle{ W(x)= (x+3) [( x^{2} + 1) - (4-3 x^{2} )]\\
W(x)= (x+3) ( x^{2} +1-4+3 x^{2} )\\
W(x)= (x+3) (4 x^{2} -3)}\)
Tutaj pojawia się problem bo nie jestem pewien tego czy mogę już przyrównywać do zera? Prosiłbym o sprostowanie: kiedy można, a kiedy nie.

Tak jeszcze abstrahując od tego. Zastanawiam się czy jeśli w jakimś przykładzie miałbym np.
\(\displaystyle{ W(x)= 2x (x+3) (x-3)}\) To czy \(\displaystyle{ 2x}\) powinno się przyrównywać do zera, żeby wskazać jego miejsce zerowe?
\(\displaystyle{ 2x=0|:2\\
x=0}\)


Z góry dziękuję, pozdrawiam!

[anna_]

\(\displaystyle{ W(x)=(x + 3)(4x^2 - 3)}\)

Możesz, ale warto jeszcze rozłożyć drugi nawias na czynniki.



Drugie pytanie: tak \(\displaystyle{ 2x}\) przyrównuje się do zera

[777Lolek]

miejsca zerowe to takie dla których po rozłożeniu wielomianu na czynniki każdy z czynników może być równy \(\displaystyle{ 0}\) .

jak masz \(\displaystyle{ W(x) = (x+3)(4x^2 - 3)}\) to zauważ, że ten drugi nawias da się jeszcze rozłożyć wg wzoru na różnicę kwadratów. Jeśli nie chcesz mieć tej czwórki to można ją "skasowac", tzn wyciągnąć ją przed nawias, stąd: \(\displaystyle{ W(x) = 4(x+3)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right)}\) . A następnie różnica kwadratow.

[StAnger]

Dzięki anna, zaraz wystawię Ci podziękowanie tylko rozjaśnij mi jeszcze jedną kwestię. Tyczy się to tego co napisał 777lolek. Mianowicie jak wykorzystać ten kwadrat różnicy bo jeśli zrobię to bez wyciągania 4 to wychodzi mi tak:
\(\displaystyle{ W(x)= (x+3) (4 x^{2} -3) \\
4 x^{2} -3 = 0 \\
4x^{2} = 3/:4 \\
x^{2} = \frac{3}{4} \\
x= \sqrt\frac{3}{4} \vee x= - \sqrt\frac{3}{4}}\)
Dobrze?A jak to zrobić z tym kwadratem różnicy? I Dlaczego z niego skorzystać skoro Kwadrat różnicy wygląda tak: \(\displaystyle{ (a-b) ^{2} = a ^{2} - 2ab + b ^{2 }}\) , a nawias w tym przykładzie nie jest kwadratowy (Wybacz, ale jestem kaleką z matmy).

miejsca zerowe to takie dla których po rozłożeniu wielomianu na czynniki każdy z czynników może być równy 0 .

Czyli tutaj \(\displaystyle{ W(x) = 4(x+3)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right)}\), 4 będzie mz czy nie?

777lolek, Tobie też dziękuję. Proszę jednak o dalsze sprostowanie

[anna_]

To nie ten wzór. Chodzi o \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
U Ciebie (bez tej czwórki) byłoby:

\(\displaystyle{ x^2 - \frac{3}{4}=\left(x- \sqrt{\frac{3}{4}} \right) \left(x+ \sqrt{\frac{3}{4}} \right)}\)

Ale Twoje rozwiązanie też jest dobre

[StAnger]

Czyli mz tego przykładu to
\(\displaystyle{ x= \sqrt\frac{3}{4} \vee x= - \sqrt\frac{3}{4} \vee x-3}\) tak?

Pytałem jeszcze czy jeśli tą 4 bym wyciągnął przed nawias to była by ona brana osobno pod uwagę jako miejsce zerowe czy nie?

[anna_]

\(\displaystyle{ x=-3}\)

Można jeszcze z tymi pierwiastkami kwadratowymi porządek zrobić.
Rozbij je na dwa pierwiastki i coś tam się da policzyć.

Gdyby \(\displaystyle{ 4}\) została równanie wyglądałoby trochę inaczej:
\(\displaystyle{ 4 x^{2} -3 = 0}\)
ze wzóru miałbyś:
\(\displaystyle{ (2x- \sqrt{3} )(2x+ \sqrt{3} )=0}\)
ale ostateczny wynik będzie taki sam.

[777Lolek]

StAnger, wyciągając czwórkę przed nawias:

\(\displaystyle{ W(x)=(x + 3)(4x^2 - 3) = 4(x+3)(x^2 - \frac{3}{4})}\)

jak czwórka moze być miejscem zerowym? miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}\) to wszystkie \(\displaystyle{ x}\) z indeksami. \(\displaystyle{ a}\) to tylko współczynnik przy najwyższej potędze.

[StAnger]

Dzięki lolek za sprostowanie