Krotność pierwiastka

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 18:57

Wyznacz krotność pierwiastka \(\displaystyle{ x_{0}}\) wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\):

\(\displaystyle{ W(x) = 3x^{5}+2x^{4}+x^{3}-10x-8}\)
\(\displaystyle{ x_{0} =-1}\)

Bardzo proszę o pomoc oraz o schemat w jaki sposób się rozwiązuje zadania tego typu.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:09

Schematem Hornera lub po prostu dzieląc wielomian przez \(\displaystyle{ x+1}\) (czyli \(\displaystyle{ x-x_0}\)) sprawdzasz, czy dane \(\displaystyle{ x_0}\) jest rzeczywiście pierwiastkiem wielomianu. Wyliczone w schemacie wartości tworzą nowy wielomian, który jest też wynikiem z tego dzielenia. I dla niego operację powtarzasz. Ile razy dasz radę podzielić bez reszty (/w schemacie Hornera wyjdzie 0), taka jest krotność pierwiastka.

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:16

Ale wiesz podzieliłem przez \(\displaystyle{ x+1}\) i od razu mi wyszła reszta...

Zordon · Post autor: **Zordon** » 6 lis 2012, o 19:18

Wyliczamy kolejne pochodne aż do momentu gdy \(\displaystyle{ x_0}\) nie będzie pierwiastkiem

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:19

Mi wyszło bez. Także przelicz jeszcze raz lub wrzuć tu to dzielenie.

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:29

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(3x^5+2x^4 + x^3 -10x + 8) & : & (x+1) = 3x^4 -x^3+2x^2-3x+2x-12\\
\underline{-3x^5 - 3x^4} & & \\
\qquad -x^4 + x^3 -10x +8 & & \\
\qquad \ \ \underline{x^4 + x^3} & &\\
\qquad \qquad \qquad 2x^3 - 10x + 8 & & \\
\qquad \qquad \qquad \underline{-2x^3 - 2x^2} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad -2x^2 -10x+8 & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \underline{2x^2 - 2x} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -12x+ 8 & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \underline{12x +12} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad R = 4 & &
\end{array}}\)

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:36

pod \(\displaystyle{ 2x^3-10x+8}\) ma być \(\displaystyle{ -2x^3-2x^2}\)

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:38

nom mam tak pogubilem się w latex ;/

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:39

sądzę, że masz jednak \(\displaystyle{ -2x^3+2x^2}\)

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:42

Nom mam... juz poprawiam-- 6 lis 2012, o 19:44 --Ok pierwsze wyszło dobrze

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:45

identyczny błąd niżej... \(\displaystyle{ 2x^2+2x}\) powinno być. Zrób to Hornerem.

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:48

Udało mi się podzielić 2x więc jest 2-krotnym? ale to trochę dużo liczenia mam prośbę mógłbyś mi to zademonstrować za pomocą Hornera? Bo nie ogarniam tego troszkę ;/ byłbym bardzo wdzięczny.

-- 6 lis 2012, o 19:52 --

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 3 & 2 & 1 & -10 & -8 \\ \hline
-1 & 1 & 2 & 0 & 1 & -11 & 3 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 19:55

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
& 3 & 2 & 1 & 0 & -10 & -8 \\ \hline
-1 & 3 & -1 & 2 & -2 & -8 & 0
\end{tabular}}\)
Na końcu jest zero czyli już 1-krotnym pierwiastkiem jest. I teraz przepisujesz powstałe wartości do nowego wielomianu: \(\displaystyle{ 3x^4-1 \cdot x^3+2x^2-2x-8}\)
Mam nadzieję, że wgl wiesz, jak działa Horner, tzn. co tam się robi?

nowik1991 · Post autor: **nowik1991** » 6 lis 2012, o 19:59

Pytanie tylko czy zaczynasz od \(\displaystyle{ 0 \cdot -1 + 3}\)?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 lis 2012, o 20:05

Jbc. Twoja tabelka wyżej jest zła. Na początku nie ma jedynki, a gdzieś tam w środku powinno być zero.

Nie rozumiem pytania. Zaczynamy od 3 i tę liczbę przepisujemy na dół. A dalej \(\displaystyle{ 3 \cdot (-1)+cos}\) itd.