Równanie z niewiadomą

[piotrek220]

Mam takie równanie do rozwiązania
\(\displaystyle{ \left( x+2\right)\left( x+5\right)x=90}\)
Niestety nie mam pojęcia jak je obliczyć.

[Vardamir]

Wymnażamy i dostajemy:

\(\displaystyle{ x^3+7x^2+10x-90=0}\)

A jak rozwiązujemy wielomiany stopnia \(\displaystyle{ n>2}\) ?

[piotrek220]

Dotąd doszłem i nie wiem co dalej jak zobaczyłem 3 potęge.

[Mariusz M]

Wielomian 3 i 4 stopnia to raczej łatwo jest rozwiązać
Trochę zabawy by było przy wielomianach stopnia \(\displaystyle{ n>4}\)

\(\displaystyle{ p=3\left( - \frac{7}{3} \right)^2+14\left( - \frac{7}{3} \right) +10=-\frac{19}{3}\\
q=\left(- \frac{7}{3} \right)^3+7\left( - \frac{7}{3} \right)^2+10\left( - \frac{7}{3} \right)-90=-\frac{2374}{27}\\
\left( x+ \frac{7}{3} \right)^3-\frac{19}{3}\left( x+ \frac{7}{3} \right)-\frac{2374}{27}=0\\
y^3-\frac{19}{3}y-\frac{2374}{27}=0\\
y^3=\frac{19}{3}y+\frac{2374}{27}\\
y^3+3y^2z+3yz^2+z^3=3y^2z+3yz^2+z^3+\frac{19}{3}y+\frac{2374}{27}\\
\left( y+z\right)=y\left( 3yz+3z^2+\frac{19}{3}\right)+z^3+\frac{2374}{27}\\
3yz+3z^2+\frac{19}{3}=0\\
3yz+3z^2=-\frac{19}{3}\\
3z\left( y+z\right)=-\frac{19}{3}\\
y+z=-\frac{19}{9z}\\
-\frac{6859}{729z^3}=z^3+\frac{2374}{27}\\
z^6+\frac{2374}{27}z^3+\frac{6859}{729}=0\\
z=-\frac{1}{3} \sqrt[3]{1187+9\sqrt{17310}}\\
y=\frac{1}{3} \sqrt[3]{1187+9\sqrt{17310}}+\frac{19}{3\sqrt[3]{1187+9\sqrt{17310}}}\\
x=\frac{1}{3} \sqrt[3]{1187+9\sqrt{17310}}+\frac{19}{3\sqrt[3]{1187+9\sqrt{17310}}}-\frac{7}{3}\\}\)