reszta z dzielenia wielomianu

[denatlu]

Reszty z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1),(x+1),(x+2)}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 1,-1,3}\). Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)}\).

Którego stopnia tak ogólnie jest reszta i czy ten stopień jest stały (chodzi mi ogólnie).

[loitzl9006]

Którego stopnia tak ogólnie jest reszta

W tego typu zadaniach zawsze zakładamy, że przynajmniej o jeden niższym niż stopień dzielnika czyli u nas \(\displaystyle{ P(x)}\)

[denatlu]

Jest jakieś wytłumaczenie dlaczego, czy tak sobie przyjęto jedynie?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ Ax^3}\) podzieli się przez \(\displaystyle{ Bx^3}\)
ale już \(\displaystyle{ Cx^2}\) nie da rady podzielić przez \(\displaystyle{ Dx^3}\)

tak samo \(\displaystyle{ Ex^6}\) podzielisz przez \(\displaystyle{ Fx^6}\)
ale już \(\displaystyle{ Gx^5}\) nie podzielisz przez \(\displaystyle{ Hx^6}\) itd.

[denatlu]

A \(\displaystyle{ Ax^4}\) podzięlę przez \(\displaystyle{ Bx^3}\) z resztą pierwszego stopnia ?

[loitzl9006]

Nie - reszta będzie stopnia drugiego. Przy dzieleniu przez wielomian stopnia trzeciego zakładamy, że reszta będzie stopnia drugiego.

[denatlu]

to \(\displaystyle{ W(x)=(x-4)(x-1)(x-3)(x-2)}\) podzielić przez \(\displaystyle{ P(x)=(x-4)(x-1)(x-3)}\) to ile to jest?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ x-2}\) reszty zero

to jest szczególny przypadek dzielenia.

A jakbyś miał np. \(\displaystyle{ W(x)=2x^6+3x^5-4x^4+3x^3-9x^2+11x-3}\)
a \(\displaystyle{ P(x)=x^4+3x^3+7x^2+x+8}\) to jestem prawie pewien że reszta by się pojawiła (oczywiście co najwyżej stopnia trzeciego).

[denatlu]

To gdyby było reszty z dzielenia \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1),(x+1),(x+2)}\) są równe \(\displaystyle{ 0}\), to byłby to szczególny przypadek ?

[loitzl9006]

Nie, dlatego że nie wiemy w naszym zadaniu nic na temat tego, jakim wielomianem jest \(\displaystyle{ w(x)}\).

[denatlu]

1.czyli reszta ciągle zakładamy, że stopnia drugiego?

2.To co by musiał być napisane, by był to ten przypadek?

[loitzl9006]

1. tak
2. Np. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ t(x)=(x-1)(x-2)(x-3)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ s(x)=(x-2)}\). Ogólniej, musimy coś więcej wiedzieć o postaci wielomianu, który dzielimy - u mnie tym wielomianem jest \(\displaystyle{ t(x)}\).

[denatlu]

A stopnia \(\displaystyle{ W(x)}\) nie da się określić przy tylu danych?

[loitzl9006]

Nie da rady. Gdyby była w zadaniu informacja, jaki jest iloraz, to wtedy dałoby się określić wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\). Ale informacji o wyniku z dzielenia nie ma, jest tylko reszta.