Parametr p a pierwiastki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
sassetkaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: sassetkaaa »

1. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x ^{3}+px^{2}+2x}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) spełniające warunki \(\displaystyle{ 2x_{1}=x_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{3}=1-x_{1}}\)?

za to zadanie nie wiem w ogóle jak sie zabrać...

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian\(\displaystyle{ w(x)=px^{3}+x^{2}(p-2)-x(1+2p)}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

\(\displaystyle{ x[px^{2}+x(p-2)-(1+2p)}\)]
\(\displaystyle{ x=0}\), a delta>0
czy to o to w tym chodzi?

3. Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych są liczby:\(\displaystyle{ -3,-2,-1}\). Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ w(n)}\)jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: 777Lolek »

1, 2. 312390.htm temat poruszany wczoraj...-- 5 lis 2012, o 19:06 --\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \ , \ n\in \NN}\)

trzy kolejne liczby naturalne są zawsze podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), gdyż przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) i jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) . Mnożąc liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\) przez liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) zawsze dostaniemy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 6}\) .
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Ponewor »

777Lolek pisze:\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \ , \ n\in \NN}\)
To nie do końca prawda (ale blisko).
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Snayk »

Ponewor, chodzi Ci o to, że brakuje współczynnika należącego do całkowitych?
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Ponewor »

Chodzi mi o to, że wielomian \(\displaystyle{ x^5+6x^4+12x^3+12x^2+11x+6}\) również spełnia warunki zadania.
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Snayk »

No racja, stopień wielomianu nie jest podany więc jest ich nieskończenie wiele.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Ponewor »

Prawda. Prawdą też jest następująca równość:
\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \cdot V (n)}\)
Trzeba tylko coś powiedzieć o współczynnikach \(\displaystyle{ V (n)}\).
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Snayk »

Ew. jeśli \(\displaystyle{ W(n)}\) ma mieć tylko pierwiastki \(\displaystyle{ -1, -2, -3}\) to uwzględnić dowolną krotność pierwiastków w postaci potęg przy nawiasach
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Ponewor »

Po pierwsze w zadaniu nie jest powiedziane, że są to jedyne pierwiastki tego wielomianu, a teza zachodzi także gdy ma on inne pierwiastki. Po drugie podany przeze mnie przykład nie ma innych pierwiastków rzeczywistych - czynnik \(\displaystyle{ x^2+1}\).
Snayk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 422
Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroc
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 64 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Snayk »

Powiedziałem ewentualnie.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Parametr p a pierwiastki

Post autor: Ponewor »

Ale ewentualnie przy założeniu, że tylko. Po co robić tylko dla szczególnego przypadku?

Żeby uzupełnić tamten dowód trzeba uzasadnić, że \(\displaystyle{ V\left( n \right)}\) ma również współczynniki całkowite. Jest to oczywiste gdy przyjrzymy się schematowi dzielenia wielomianów albo schematowi Hornera.

Można też udowodnić to nieco inaczej. Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych zachodzi \(\displaystyle{ a-b \mid W (a)-W (b)}\) dla różnych całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). No to hop. Mamy z tego \(\displaystyle{ n-1 \mid W (n)}\), \(\displaystyle{ n-2 \mid W (n)}\) i \(\displaystyle{ n-3 \mid W (n)}\) dla \(\displaystyle{ n}\) różnego od \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) (w przeciwnym razie teza jest trywialna). No i teraz znów korzystamy z tej argumentacji o trzech kolejnych liczbach.
ODPOWIEDZ