Parametr p a pierwiastki
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Parametr p a pierwiastki
1. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x ^{3}+px^{2}+2x}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\) spełniające warunki \(\displaystyle{ 2x_{1}=x_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{3}=1-x_{1}}\)?
za to zadanie nie wiem w ogóle jak sie zabrać...
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian\(\displaystyle{ w(x)=px^{3}+x^{2}(p-2)-x(1+2p)}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
\(\displaystyle{ x[px^{2}+x(p-2)-(1+2p)}\)]
\(\displaystyle{ x=0}\), a delta>0
czy to o to w tym chodzi?
3. Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych są liczby:\(\displaystyle{ -3,-2,-1}\). Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ w(n)}\)jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
za to zadanie nie wiem w ogóle jak sie zabrać...
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian\(\displaystyle{ w(x)=px^{3}+x^{2}(p-2)-x(1+2p)}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
\(\displaystyle{ x[px^{2}+x(p-2)-(1+2p)}\)]
\(\displaystyle{ x=0}\), a delta>0
czy to o to w tym chodzi?
3. Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ w}\) o współczynnikach całkowitych są liczby:\(\displaystyle{ -3,-2,-1}\). Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ w(n)}\)jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
Parametr p a pierwiastki
1, 2. 312390.htm temat poruszany wczoraj...-- 5 lis 2012, o 19:06 --\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \ , \ n\in \NN}\)
trzy kolejne liczby naturalne są zawsze podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), gdyż przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) i jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) . Mnożąc liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\) przez liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) zawsze dostaniemy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 6}\) .
trzy kolejne liczby naturalne są zawsze podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\), gdyż przynajmniej jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) i jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) . Mnożąc liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 2}\) przez liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\) zawsze dostaniemy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 6}\) .
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Parametr p a pierwiastki
Prawda. Prawdą też jest następująca równość:
\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \cdot V (n)}\)
Trzeba tylko coś powiedzieć o współczynnikach \(\displaystyle{ V (n)}\).
\(\displaystyle{ W(n) = (n+1)(n+2)(n+3) \cdot V (n)}\)
Trzeba tylko coś powiedzieć o współczynnikach \(\displaystyle{ V (n)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 422
- Rejestracja: 13 cze 2012, o 21:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wroc
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 64 razy
Parametr p a pierwiastki
Ew. jeśli \(\displaystyle{ W(n)}\) ma mieć tylko pierwiastki \(\displaystyle{ -1, -2, -3}\) to uwzględnić dowolną krotność pierwiastków w postaci potęg przy nawiasach
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Parametr p a pierwiastki
Po pierwsze w zadaniu nie jest powiedziane, że są to jedyne pierwiastki tego wielomianu, a teza zachodzi także gdy ma on inne pierwiastki. Po drugie podany przeze mnie przykład nie ma innych pierwiastków rzeczywistych - czynnik \(\displaystyle{ x^2+1}\).
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Parametr p a pierwiastki
Ale ewentualnie przy założeniu, że tylko. Po co robić tylko dla szczególnego przypadku?
Żeby uzupełnić tamten dowód trzeba uzasadnić, że \(\displaystyle{ V\left( n \right)}\) ma również współczynniki całkowite. Jest to oczywiste gdy przyjrzymy się schematowi dzielenia wielomianów albo schematowi Hornera.
Można też udowodnić to nieco inaczej. Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych zachodzi \(\displaystyle{ a-b \mid W (a)-W (b)}\) dla różnych całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). No to hop. Mamy z tego \(\displaystyle{ n-1 \mid W (n)}\), \(\displaystyle{ n-2 \mid W (n)}\) i \(\displaystyle{ n-3 \mid W (n)}\) dla \(\displaystyle{ n}\) różnego od \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) (w przeciwnym razie teza jest trywialna). No i teraz znów korzystamy z tej argumentacji o trzech kolejnych liczbach.
Żeby uzupełnić tamten dowód trzeba uzasadnić, że \(\displaystyle{ V\left( n \right)}\) ma również współczynniki całkowite. Jest to oczywiste gdy przyjrzymy się schematowi dzielenia wielomianów albo schematowi Hornera.
Można też udowodnić to nieco inaczej. Dla każdego wielomianu \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach całkowitych zachodzi \(\displaystyle{ a-b \mid W (a)-W (b)}\) dla różnych całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). No to hop. Mamy z tego \(\displaystyle{ n-1 \mid W (n)}\), \(\displaystyle{ n-2 \mid W (n)}\) i \(\displaystyle{ n-3 \mid W (n)}\) dla \(\displaystyle{ n}\) różnego od \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) (w przeciwnym razie teza jest trywialna). No i teraz znów korzystamy z tej argumentacji o trzech kolejnych liczbach.