1. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x ^{3}+px^{2} +qx+4=0}\)?
2. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\),\(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx-4=0}\)?
Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r
Ze wzoru Viete na iloczyn mamy
1.
\(\displaystyle{ 4x_{3}=-4\\
x_{3}=-1\\
W\left( x\right) =\left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=-4\\
W\left( x\right)=\left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\)
1.
\(\displaystyle{ 4x_{3}=-4\\
x_{3}=-1\\
W\left( x\right) =\left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=-4\\
W\left( x\right)=\left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\)
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r
ale skąd się bierze to \(\displaystyle{ x _{3}}\) i \(\displaystyle{ x _{4}}\) i ile wynosi to \(\displaystyle{ p,q}\)?
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r
Kojarzysz wzory Viete'a dla funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) ?
\(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}}\)
istnieją też wzory Viete'a dla funkcji wyższych stopni niż drugi.
mariuszm wykorzystał taki wzór Viete'a dla funkcji trzeciego stopnia \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\):
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_1, \ x_2, \ x_3}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\).
Z treści zadania \(\displaystyle{ x_1=x_2=2}\) zaś \(\displaystyle{ a=1, \ b=p, \ c=q, \ d=4}\)
a więc zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)
\(\displaystyle{ 4x_3=- \frac{4}{1} =-4}\)
A postać iloczynowa wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) trzeciego stopnia dla \(\displaystyle{ a=1}\) to
\(\displaystyle{ \left( x-x_1\right) \left(x-x_2 \right) \left( x-x_3\right)}\)
Aby znaleźć \(\displaystyle{ p,q}\) to trzeba powymnażać wielomian \(\displaystyle{ \left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\) i porównać współczynniki jak anna_ już pisała.
W drugim wykorzystaj wzór Viete'a dla funkcji \(\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\):
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{e}{a} \\ \\ x_1=x_2=x_3=1}\)
Z tego wynika że \(\displaystyle{ x_4=-4}\)
teraz powymnażaj wielomian \(\displaystyle{ \left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\) i porównaj współczynniki (jak w pierwszym).
\(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}}\)
istnieją też wzory Viete'a dla funkcji wyższych stopni niż drugi.
mariuszm wykorzystał taki wzór Viete'a dla funkcji trzeciego stopnia \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\):
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_1, \ x_2, \ x_3}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\).
Z treści zadania \(\displaystyle{ x_1=x_2=2}\) zaś \(\displaystyle{ a=1, \ b=p, \ c=q, \ d=4}\)
a więc zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)
\(\displaystyle{ 4x_3=- \frac{4}{1} =-4}\)
A postać iloczynowa wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) trzeciego stopnia dla \(\displaystyle{ a=1}\) to
\(\displaystyle{ \left( x-x_1\right) \left(x-x_2 \right) \left( x-x_3\right)}\)
Aby znaleźć \(\displaystyle{ p,q}\) to trzeba powymnażać wielomian \(\displaystyle{ \left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\) i porównać współczynniki jak anna_ już pisała.
W drugim wykorzystaj wzór Viete'a dla funkcji \(\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\):
\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{e}{a} \\ \\ x_1=x_2=x_3=1}\)
Z tego wynika że \(\displaystyle{ x_4=-4}\)
teraz powymnażaj wielomian \(\displaystyle{ \left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\) i porównaj współczynniki (jak w pierwszym).
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy