Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
sassetkaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: sassetkaaa »

1. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) liczba \(\displaystyle{ 2}\) jest dwukrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x ^{3}+px^{2} +qx+4=0}\)?

2. Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ p}\),\(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ r}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx-4=0}\)?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: anna_ »

1. \(\displaystyle{ (x-2)^2(x-a)=x^3+px^2+qx+4}\)

rozpisać, porównać wspólczynniki

2. podobnie
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: Mariusz M »

Ze wzoru Viete na iloczyn mamy

1.

\(\displaystyle{ 4x_{3}=-4\\
x_{3}=-1\\
W\left( x\right) =\left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\)


\(\displaystyle{ x_{4}=-4\\
W\left( x\right)=\left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\)
Awatar użytkownika
sassetkaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: sassetkaaa »

ale skąd się bierze to \(\displaystyle{ x _{3}}\) i \(\displaystyle{ x _{4}}\) i ile wynosi to \(\displaystyle{ p,q}\)?
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: loitzl9006 »

Kojarzysz wzory Viete'a dla funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) ?

\(\displaystyle{ x_1+x_2=- \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}}\)

istnieją też wzory Viete'a dla funkcji wyższych stopni niż drugi.
mariuszm wykorzystał taki wzór Viete'a dla funkcji trzeciego stopnia \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\):

\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x_1, \ x_2, \ x_3}\) to pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\).

Z treści zadania \(\displaystyle{ x_1=x_2=2}\) zaś \(\displaystyle{ a=1, \ b=p, \ c=q, \ d=4}\)

a więc zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3=- \frac{d}{a}}\)

\(\displaystyle{ 4x_3=- \frac{4}{1} =-4}\)

A postać iloczynowa wielomianu \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d}\) trzeciego stopnia dla \(\displaystyle{ a=1}\) to

\(\displaystyle{ \left( x-x_1\right) \left(x-x_2 \right) \left( x-x_3\right)}\)

Aby znaleźć \(\displaystyle{ p,q}\) to trzeba powymnażać wielomian \(\displaystyle{ \left( x-2\right)^2\left( x+1\right)}\) i porównać współczynniki jak anna_ już pisała.

W drugim wykorzystaj wzór Viete'a dla funkcji \(\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\):

\(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = \frac{e}{a} \\ \\ x_1=x_2=x_3=1}\)
Z tego wynika że \(\displaystyle{ x_4=-4}\)
teraz powymnażaj wielomian \(\displaystyle{ \left( x-1\right)^3\left( x+4\right)}\) i porównaj współczynniki (jak w pierwszym).
Awatar użytkownika
sassetkaaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 3 razy

Krotność pierwiastka i parametry p,q i p,q,r

Post autor: sassetkaaa »

aa to teraz już rozumiem dzięki wielkie za pomoc:)
ODPOWIEDZ