Wzór wielomianu zależny od punktu P
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Wzór wielomianu zależny od punktu P
Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Wielomian ten jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ q(x)=x^2+2x-3}\). Napisz wzór tego wielomianu, jeżeli wiadomo, że do jego wykresu należy punkt \(\displaystyle{ P(-1,24)}\).
Ostatnio zmieniony 3 lis 2012, o 13:30 przez kamil13151, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Wzór wielomianu zależny od punktu P
\(\displaystyle{ q(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-2^2=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)}\)
zatem wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) będzie podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+3)}\), gdy \(\displaystyle{ w(1)=0, \ w(-3)=0}\)
Z treści zadania
\(\displaystyle{ w(2)=0, \ w(-2)=0}\)
Przedstawiamy wielomian \(\displaystyle{ w}\) w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ w(x)=a(x-2)(x+2)(x-1)(x+3)}\)
współczynnik \(\displaystyle{ a}\) znajdziesz z warunku \(\displaystyle{ w(-1)=24}\)
zatem wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) będzie podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+3)}\), gdy \(\displaystyle{ w(1)=0, \ w(-3)=0}\)
Z treści zadania
\(\displaystyle{ w(2)=0, \ w(-2)=0}\)
Przedstawiamy wielomian \(\displaystyle{ w}\) w postaci iloczynowej
\(\displaystyle{ w(x)=a(x-2)(x+2)(x-1)(x+3)}\)
współczynnik \(\displaystyle{ a}\) znajdziesz z warunku \(\displaystyle{ w(-1)=24}\)
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy
Wzór wielomianu zależny od punktu P
Mam problem jeszcze z dwoma zadaniami, a mianowicie:
1. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 14}\), a reszta z dzielenia \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa \(\displaystyle{ 4}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\).
2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5}\), wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w}\) oraz \(\displaystyle{ w(-1)=6}\).
1. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 14}\), a reszta z dzielenia \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa \(\displaystyle{ 4}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\).
2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5}\), wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w}\) oraz \(\displaystyle{ w(-1)=6}\).
- AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Wzór wielomianu zależny od punktu P
1. Nasza reszta może być co najwyżej stopnia pierwszego, a więc postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)
Wielomian można zapisać jako:
\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x^{2}-x-6)+ax+b}\)
Wiemy też, że \(\displaystyle{ w(3)=14}\) oraz \(\displaystyle{ w(-2)=4}\). No to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x+2)(x-3)+ax+b\\
\\
w(3)=a\cdot3 +b = 14\\
\\
w(-2) = a\cdot(-2)+b = 4}\)
I rozwiązujemy ten układ.
Wielomian można zapisać jako:
\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x^{2}-x-6)+ax+b}\)
Wiemy też, że \(\displaystyle{ w(3)=14}\) oraz \(\displaystyle{ w(-2)=4}\). No to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x+2)(x-3)+ax+b\\
\\
w(3)=a\cdot3 +b = 14\\
\\
w(-2) = a\cdot(-2)+b = 4}\)
I rozwiązujemy ten układ.
- Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Wzór wielomianu zależny od punktu P
1.\(\displaystyle{ w(x)=Q(x)(x-3)+14 \Rightarrow w(3)=14}\)
\(\displaystyle{ w(x)=P(x)(x+2)+4 \Rightarrow w(-2)=4}\)
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x ^{2}-x-6)+ax+b}\)
Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian drugiego stopnia musi być wielomianem co najwyżej stopnia pierwszego (jeśli tak by nie było ,to by znaczyło że wielomian możemy podzielić jeszcze bardziej,dlatego napisałem tam wielomian stopnia pierwszego w postaci ogólnej).
Zauważ że :\(\displaystyle{ x ^{2}-x-6=(x-3)(x+2)}\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x-3)(x+2)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(3)=14=3a+b}\)
\(\displaystyle{ w(-2)=4=-2a+b}\)
Podwójny układ równań,który należy rozwiązać
2.\(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=Q(x)(x-5)(x+1)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(5)=0}\)
\(\displaystyle{ w(-1)=6}\)
Podwójny układ równań i rozwiązać j.w.-- 3 lis 2012, o 16:58 --AloneAngel sry,nie zauważyłem że odpisałeś
\(\displaystyle{ w(x)=P(x)(x+2)+4 \Rightarrow w(-2)=4}\)
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x ^{2}-x-6)+ax+b}\)
Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian drugiego stopnia musi być wielomianem co najwyżej stopnia pierwszego (jeśli tak by nie było ,to by znaczyło że wielomian możemy podzielić jeszcze bardziej,dlatego napisałem tam wielomian stopnia pierwszego w postaci ogólnej).
Zauważ że :\(\displaystyle{ x ^{2}-x-6=(x-3)(x+2)}\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x-3)(x+2)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(3)=14=3a+b}\)
\(\displaystyle{ w(-2)=4=-2a+b}\)
Podwójny układ równań,który należy rozwiązać
2.\(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=Q(x)(x-5)(x+1)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(5)=0}\)
\(\displaystyle{ w(-1)=6}\)
Podwójny układ równań i rozwiązać j.w.-- 3 lis 2012, o 16:58 --AloneAngel sry,nie zauważyłem że odpisałeś
- sassetkaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 13 wrz 2012, o 18:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 3 razy