Wzór wielomianu zależny od punktu P

[sassetkaaa]

Pierwiastkami wielomianu czwartego stopnia są liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\). Wielomian ten jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ q(x)=x^2+2x-3}\). Napisz wzór tego wielomianu, jeżeli wiadomo, że do jego wykresu należy punkt \(\displaystyle{ P(-1,24)}\).

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ q(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-2^2=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3)}\)

zatem wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) będzie podzielny przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+3)}\), gdy \(\displaystyle{ w(1)=0, \ w(-3)=0}\)

Z treści zadania

\(\displaystyle{ w(2)=0, \ w(-2)=0}\)

Przedstawiamy wielomian \(\displaystyle{ w}\) w postaci iloczynowej

\(\displaystyle{ w(x)=a(x-2)(x+2)(x-1)(x+3)}\)

współczynnik \(\displaystyle{ a}\) znajdziesz z warunku \(\displaystyle{ w(-1)=24}\)

[sassetkaaa]

Mam problem jeszcze z dwoma zadaniami, a mianowicie:
1. Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 14}\), a reszta z dzielenia \(\displaystyle{ w}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) jest równa \(\displaystyle{ 4}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^{2}-x-6}\).

2. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w}\) przez trójmian \(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5}\), wiedząc, że liczba \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ w}\) oraz \(\displaystyle{ w(-1)=6}\).

[AloneAngel]

1. Nasza reszta może być co najwyżej stopnia pierwszego, a więc postaci \(\displaystyle{ ax+b}\)

Wielomian można zapisać jako:

\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x^{2}-x-6)+ax+b}\)

Wiemy też, że \(\displaystyle{ w(3)=14}\) oraz \(\displaystyle{ w(-2)=4}\). No to otrzymujemy:

\(\displaystyle{ w(x) = S(x)\cdot(x+2)(x-3)+ax+b\\
\\
w(3)=a\cdot3 +b = 14\\
\\
w(-2) = a\cdot(-2)+b = 4}\)

I rozwiązujemy ten układ.

[Igor V]

1.\(\displaystyle{ w(x)=Q(x)(x-3)+14 \Rightarrow w(3)=14}\)
\(\displaystyle{ w(x)=P(x)(x+2)+4 \Rightarrow w(-2)=4}\)
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x ^{2}-x-6)+ax+b}\)
Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian drugiego stopnia musi być wielomianem co najwyżej stopnia pierwszego (jeśli tak by nie było ,to by znaczyło że wielomian możemy podzielić jeszcze bardziej,dlatego napisałem tam wielomian stopnia pierwszego w postaci ogólnej).
Zauważ że :\(\displaystyle{ x ^{2}-x-6=(x-3)(x+2)}\)
W takim razie:
\(\displaystyle{ w(x)=K(x)(x-3)(x+2)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(3)=14=3a+b}\)
\(\displaystyle{ w(-2)=4=-2a+b}\)
Podwójny układ równań,który należy rozwiązać
2.\(\displaystyle{ p(x)=x ^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ w(x)=Q(x)(x-5)(x+1)+ax+b}\)
\(\displaystyle{ w(5)=0}\)
\(\displaystyle{ w(-1)=6}\)
Podwójny układ równań i rozwiązać j.w.-- 3 lis 2012, o 16:58 --AloneAngel sry,nie zauważyłem że odpisałeś

[sassetkaaa]

Dziękuję za pomoc:))