zadania z parametrami

[davidd]

1. Dla jakich m suma pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= (x-1) (x-4m-2) (x-m ^{2} +3)}\)jest najmniejsza?
Trzeba wymnożyć drugi i trzeci nawias i z funkcji kwadratowej wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\)?

2. Liczba \(\displaystyle{ x=2}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x ^{3} - (4p+2)x ^{2} + (8p -5)x +1 = 0}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ p}\) jeśli dany pierwiastek jest średnią arytmetyczną pozostałych pierwiastków.
Czyli suma wszystkich pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 6}\)?

3. Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x ^{4} + 2x ^{3} + 5x ^{2} +4x +3}\) jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych.

4. Dla jakich p wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x ^{3} +px ^{2} + 2x}\) ma trzy pierwiastki spełniające warunek \(\displaystyle{ 2x _{1}=x _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x _{3}= 1- x _{1}}\) ?

5. Dla jakich\(\displaystyle{ p \in R}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x) = px ^{3} + x ^{2}(p-2) - x(1+2p)}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?
Na pewno współczynnik a większy od 0 czyli: \(\displaystyle{ p>0}\)

6. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ W(x)= x ^{4}+ 4x ^{3}+ 10x ^{2}+12x+a}\) jest kwadratem wielomianu stopnia drugiego?

Z takimi zadaniami mam problemy. Proszę o wskazówki, pomoc. Dzięki

[miodzio1988]

A jakie problemy konkretnie masZ?

[davidd]

CO do zadania pierwszego to napisałem pomysł, ale nie wiem czy ide w dobrym kierunku. Robiłem takie zadania z funkcji kwadratowej i wzoruje się trochę na tym.
Za resztę nie wiem trochę jak się zabrać. W drugim jeszcze, jeśli \(\displaystyle{ x=2}\) jest średnią arytmetyczną pozostałych, to znaczy, że: \(\displaystyle{ \frac{x _{1}+x _{2}+x _{3} }{3} = 2}\)?

[miodzio1988]

1. Jakie te pierwiastki mamy tej funkcji?

[davidd]

\(\displaystyle{ x=1 ; x=4m +2 ; x=m ^{2} -3}\)

[miodzio1988]

Znamy. Zależą od \(\displaystyle{ m}\), ale znamy

[davidd]

Racja, gapiostwo.

czyli \(\displaystyle{ m ^{2} +4m}\)jest najmniejszy

zatem \(\displaystyle{ m= -2}\)?-- 2 lis 2012, o 23:24 --Pierwsze dwa zmogłem. Proszę o pomoc przy kolejnych.

[777Lolek]

4. \(\displaystyle{ W(x) = x^3 + px^2 + 2x = x(x^2 + px + 2)}\)
zatem

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = 0\\ x_2 = 0\\ x_3 = 1 \end{cases} \vee \begin{cases} x_3 = 0\\ x_1 = 1\\ x_2 = 2 \end{cases}}\)

skoro pierwiastki mają być różne, to \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 = 1\\ x_2 = 2\\ x_3 = 0 \end{cases}}\)


Więc \(\displaystyle{ x^2 + px + 2 = (x-1)(x-2)}\) a stąd masz \(\displaystyle{ p}\) .


5. \(\displaystyle{ W(x) = x[px^2 + (p-2)x - 2p - 1]}\)
jednym z pierwiastków jest, jak widać, \(\displaystyle{ 0}\) , a teraz zajmujesz sie tylko trójmianem, w którym \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_1,x_2 \not= 0}\) . Pamiętając, że \(\displaystyle{ p > 0}\) .


6. \(\displaystyle{ W(x) = (bx^2 + cx + d)^2}\) , potem podstawiasz współczynniki do takich jakie są rzeczywiście, dostajesz układ pięciu równań z trzema niewiadomymi, skąd łatwo znajdujesz \(\displaystyle{ a}\) .



Pozdrawiam

[k3fe]

5. \(\displaystyle{ W(x) = x[px^2 + (p-2)x - 2p - 1]}\)
jednym z pierwiastków jest, jak widać, \(\displaystyle{ 0}\) , a teraz zajmujesz sie tylko trójmianem, w którym \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) oraz \(\displaystyle{ x_1,x_2 \not= 0}\) . Pamiętając, że \(\displaystyle{ p > 0}\) .

Dlaczego \(\displaystyle{ p>0}\)
Nie wystarczy że będzie różne od zera?

[777Lolek]

Wystarczy. Dziękuję