udowodnić że wielomian nie ma pierwiastków

[ct985]

Pokazać że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=a_0+a_1x+...+a_n x^n}\) o współczynnikach calkowitych, gdzie \(\displaystyle{ W(k)=W(l)=W(m)=1}\) i \(\displaystyle{ k,l,m \in Z}\) nie ma pierwiastków, czyli \(\displaystyle{ \forall {n \in Z}}\), \(\displaystyle{ W(n) \neq 0}\)

[tometomek91]

Przypuśćmy, że jest takie \(\displaystyle{ n \in \ZZ}\) różne od \(\displaystyle{ k,l,m}\), że \(\displaystyle{ W(n)=0}\). Jeśli zdefiniować sobie \(\displaystyle{ H(x)=W(x)-1}\), to nasze przypuszczenie równoważne jest z następującemu \(\displaystyle{ H(n)=-1}\). Z treści zadania i z twierdzenia Bezout mamy, że \(\displaystyle{ H(x)=(x-k)(x-l)(x-m)G(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ G(x)}\) też jest wielomianem o całkowitych współczynnikach. Wtedy też \(\displaystyle{ H(n)=(n-k)(n-l)(n-m)G(n)}\) i jak już wcześniej stwierdziliśmy \(\displaystyle{ H(n)=-1}\), czyli \(\displaystyle{ (n-k)(n-l)(n-m)G(n)=-1}\), ale liczby \(\displaystyle{ -1}\) nie da się przedstawić jako iloczyn czterech różnych liczb całkowitych, więc takie \(\displaystyle{ n}\) nie istnieje.